Chủ đề này có 3 trả lời

[donkihote]

Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ biết $AB=CD=2a$ và góc giữa đường thẳng $AB$ và $CD$ là $60^o$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng qua $MN$ và song song với $AB$

[tranmanh]

Xác định thiết diện: Ta lấy P,E lần lượt là trung điểm của AC, BD . ta có MPNE là thiết diện cần tìm.
-- Tính diện tích MPNE?
Em kiểm tra lại đề đi. nếu cho góc giữa AB và CD mới tính được.
Nếu chỉ cho góc gữa AC và CD thì thiếu dữ kiện suy ra không giải được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranmanh: 27-08-2012 - 17:09

[E. Galois]

Xác định thiết diện: Ta lấy P,E lần lượt là trung điểm của AC, BD . ta có MPNE là thiết diện cần tìm.
-- Tính diện tích MPNE?
Em kiểm tra lại đề đi. nếu cho góc giữa AB và CD mới tính được.
Nếu chỉ cho góc gữa AC và CD thì thiếu dữ kiện suy ra không giải được

BTC cũng đã kiểm tra lại, và đã sửa đề. Thành thật xin lỗi các bạn

Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ biết $AB=CD=2a$ và góc giữa đường thẳng $AB$ và $CD$ là $60^o$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng qua $MN$ và song song với $AB$

[hoangtrong2305]

Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ biết $AB=CD=2a$ và góc giữa đường thẳng $AB$ và $CD$ là $60^o$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng qua $MN$ và song song với $AB$

Gọi $H,G$ lần lượt là trung điểm $AC,BD$

Xét $\Delta ABD$, có $G,N$ là trung điểm của $DB,DA$ nên theo tính chất đường trung bình, $GN//BA$

Mà $GN \in (MNG)\Rightarrow AB//(MNG)$

Xét $(ABC)$ và $(MNG)$:

$\left\{\begin{matrix} M\, \, \, chung\\ AB//NG \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (ABC)\cap (MNG)=$ đường thẳng $(d)$ qua $M$ và $(d)//AB//GN$

$\Rightarrow (d)$ cắt $AC$ tại trung điểm $H$

$\Rightarrow (ABC)\cap (MNG)=MH$

Vậy ta có:

$\left\{\begin{matrix} (MNG)\cap (ABC)=HM\\ (MNG)\cap (BCD)=MG\\ (MNG)\cap (ABD)=GN\\ (MNG)\cap (ACD)=NH \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ thiết diện cần tìm là hình bình hành $MGNH$ (do $HN//MG$ và $HM//NG$)

Ta có:

Theo tính chất đường trung bình:

$\left\{\begin{matrix} NG=\frac{AB}{2}=a\\ GM=\frac{BC}{2}=a \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow NG=GM$

$\Rightarrow MGNH$ là hình thoi

$\Rightarrow S_{MGNH}=2S_{\Delta NGM}$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} AB//GN\\ CD//GM \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \widehat{(AB;CD)}=\widehat{GN;GM}=60^{o}$


Trường hợp 1: $\widehat{MGN}$ là góc nhọn

$\Rightarrow (\widehat{GN;GM})=\widehat{MGN}=60^{o}$

$\Rightarrow \Delta NGM$ là tam giác đều cạnh $a$

$\Rightarrow S_{NGM}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow \Rightarrow S_{MGNH}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$


Trường hợp 2: $\widehat{MGN}$ là góc tù

$\Rightarrow \widehat{MGN}=120^{o}$

$\Rightarrow S_{NGM}=\frac{1}{2}.NG.GM.\sin120^{o}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$ \Rightarrow S_{MGNH}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Vậy qua 2 trường hợp:

$$S_{MGNH}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$$