Đến nội dung

Hình ảnh

tìm x,y,z

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
Tìm tất cả bộ 3 các số nguyên dương $(x,y,z)$ sao cho $x^{z+1}-y^{z+1}=2^{100}$.
1728

#2
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Trường hợp 1: $z = 1$, có phương trình $(x - y)(x + y) = 2^{100} \implies \begin{cases} x - y = 2^{m} \\ x + y = 2^{n} \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2^{m - 1} + 2^{n - 1} \\ y = 2^{n - 1} - 2^{m - 1} \end{cases}$ với $m + n = 100$.
Trường hợp 2: $\begin{cases} z = 5 \\ x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ không thỏa mãn.
Trường hợp 3: Ngoại trừ hai trường hợp trên, nếu $x - y \ge 2$ (lưu ý $x \neq y$) thì áp dụng định lý Zsigmondy cho ta tồn tại một số nguyên tố $p$ là ước của $x^{z + 1} - y^{z + 1}$ nhưng không là ước của $x - y$, vô lí do $x^{z + 1} - y^{z + 1}$ chỉ có ước nguyên tố duy nhất là $2$. Tóm lại, $x - y = 1$. Tuy nhiên lưu ý vế trái $x^{z + 1} - y^{z + 1} \equiv_{2} x - z \equiv_{2} 1$, vô lí do $x^{z + 1} - y^{z + 1}$ chẵn.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh