Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * - 1 Bình chọn

$ 2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 euler

euler

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết

Đã gửi 01-04-2005 - 17:03

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $[-2;2]$. Chứng minh rằng:

$$ 2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$$


http://mathnfriend.net
http://mathnfriend.org
địa chỉ nào cũng được!

#2 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 29-05-2014 - 22:56

Để cho đỡ loằng ngoằng ta đặt $x^{2}=a,y^{2}=b,z^{2}=c\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 4$

Cần cm $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq 192(*)$

Ta có $(b-4)(a^{2}-16)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b\geq 4b^{2}+16b-64$ (vì $0\leq a,b\leq 4$

Tương tự có $b^{2}c\geq 4b^{2}+16c-64,c^{2}a\geq 4c^{2}+16a-64$

Do đó $\sum a^{2}b\geq 16\sum a+4\sum a^{2}-192$

Ta chỉ cần cm $2(\sum a^{3})-4\sum a^{2}+16\sum a\leq 0\Leftrightarrow \sum a(a+2)(a-4)\leq 0$

Luôn đúng vì $0\leq a,b,c\leq 4$

Dấu = xảy ra khi $(a,b,c)=(4,4,4)\Rightarrow (x,y,z)=(2,2,2),(-2,-2,-2),(2,-2,2),(2,-2,-2)$ và các hoắn vị tương ứng



#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-05-2014 - 07:48

Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $[-2;2]$. Chứng minh rằng:

$$ 2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$$

Bài này nhìn qua thấy ngay đây là hàm lồi, thử các điểm đầu mút vào là biết ngay max nó bằng mấy. Thật ra với những bất đẳng thức kiểu này cũng chẳng cần để đối xứng hay hoán vị làm gì vì đấy chưa bao giờ là bản chất của bài toán. 



#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 30-05-2014 - 09:34

Dấu đẳng thức xảy ra trong $2$ trường hợp sau :

$1)$ Giá trị tuyệt đối của $x,y$ và $z$ đều bằng $2$

$2)$ Hai trong ba số $x,y,z$ có giá trị tuyệt đối bằng $2$, số còn lại bằng $0$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh