21 replies to this topic

[quanganhct]

Rảnh post mấy bài giới hạn chơi , tại mới học khai triển hữu hạn , dùng tính lim cũng hay hay nên đưa lên mời anh em tham khảo .
1 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx}{tan^2 x}$
2 $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x-1}{x^\alpha -1}$
3 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{xsinx}{1-cosx}$

[knight-ctscht]

bài 1 vả 3 biến đổi 1-cosx còn bài 2 là thực hay nguyên vậy?

[quanganhct]

Biến đổi thề nào ?? Còn là số thực .

[sherlock_holmes]

biến đổi tan=sin/cos, và dùng limsinx/x=1 x tiến tới 0
câu 2 thi a<1 thì ghạn là vô cùng, lớn hơn 1 thì là 0. bằng 1 thì là 1

Edited by sherlock_holmes, 15-02-2007 - 14:52.

[quanganhct]

biến đổi tan=sin/cos, và dùng limsinx/x=1 x tiến tới 0
câu 2 thi a<1 thì ghạn là vô cùng, lớn hơn 1 thì là 0. bằng 1 thì là 1

Bạn biến đổi câu 1 thử xem ??
Câu 2 ra kết quả $ \dfrac{1}{\alpha}$
Bạn nào không biết dùng khai triển hữu hạn thì dùng định lý De L'Hopital cũng thấy ngay . Thử với số 2 là biết .

[sherlock_holmes]

Bạn biến đổi câu 1 thử xem ??
Câu 2 ra kết quả $ \dfrac{1}{\alpha}$
Bạn nào không biết dùng khai triển hữu hạn thì dùng định lý De L'Hopital cũng thấy ngay . Thử với số 2 là biết .

$\dfrac{{2\sin ^2 \dfrac{x}{2}c{\text{os}}^{\text{2}} x}}{{\sin ^2 x}} = \dfrac{{8\dfrac{{\sin ^2 \dfrac{x}{2}}}{{\dfrac{{x^2 }}{4}}}}}{{\dfrac{{\sin ^2 x}}{{x^2 }}}}$đc rồi nha

Edited by sherlock_holmes, 15-02-2007 - 22:56.

[quanganhct]

Okie . Bài 1 được rồi , còn 2 bài kia ?

[sherlock_holmes]

Okie . Bài 1 được rồi , còn 2 bài kia ?

bài 2
${\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{x^\alpha - 1}} = {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\alpha x^{\alpha - 1} }} = \dfrac{{1}}{\alpha }$
Bài 3 tương tự bài 1 chớ khác chi.

Edited by sherlock_holmes, 16-02-2007 - 09:03.

[quanganhct]

Uhm , dùng định nghĩa đạo hàm để tìm lim bài 2 , cũng hay . Được rồi , tối nay mình sẽ pót cách dùng khai triển hữu hạn và 1 số bài mới . Chờ nhé , giờ đi học đã .

[quanganhct]

Mình dùng khai triển hữa hạn , có gì sai xin mấy sư huynh chỉ giáo.
$sinx = x+x \varepsilon(x) , \varepsilon(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0 $
$ \Rightarrow sinx \displaystyle\sim_{0} x$
$cosx = 1+x \varepsilon_1(x) , \varepsilon_1(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0 $
$\Rightarrow cosx \displaystyle\sim_{0} 1$
$\Rightarrow tanx \displaystyle\sim_{0} x \Rightarrow tan^2x \displaystyle\sim_{0} x^2$
$cosx = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + x^2 \varepsilon '(x) , \varepsilon '(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0$
$ \Rightarrow 1-cosx \displaystyle\sim_{0} \dfrac{x^2}{2!}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx}{tan^2x} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{2!} \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

[quanganhct]

Những bài sau cũng tương tự , sử dụng các công thức sau :
$x^{\alpha} - 1 \displaystyle\sim_{1} \alpha(x-1)$
$xsinx \displaystyle\sim_{0} x^2$

[quanganhct]

Mình đưa thêm vài bài nữa .
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx+ln(cosx)}{x^4}$
2. $ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty} (1 + \dfrac{a}{x})^x , a \in \mathbf{R} $
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} , \alpha \in \mathbf{R_+}$

[quanganhct]

Mình đưa thêm vài bài nữa .
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx+ln(cosx)}{x^4}$
2. $ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty} (1 + \dfrac{a}{x})^x , a \in \mathbf{R} $
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} , \alpha \in \mathbf{R_+}$

Không ai tính ah ?

[mat troi moc]

Sử dụng L'Hospital's rule đơn giản hơn nhiều !

[quanganhct]

L'Hospiatal không giải quyết được hết mấy bài này đâu .

[mat troi moc]

De to thu xem, lau qua khong dung latex quen mat tieu roi.
1) $ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{\tan^2x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1+\cos x}{2\sec^2x+2\tan \sec^2x)'}=\dfrac{1}{2} $
Các bài khác làm tương tự. Tớ quên mất làm sao để xem cách gõ công thức rồi. Mấy bác edit lại giùm. Thanks

Edited by mat troi moc, 24-02-2007 - 03:02.

[quanganhct]

De to thu xem, lau qua khong dung latex quen mat tieu roi.
1)$ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{\tan^2x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1+\cos x}{2\sec^2x+2\tan \sec^2x)'}=\dfrac{1}{2} $ Các bài khác làm tương tự. Tớ quên mất làm sao để xem cách gõ công thức rồi. Mấy bác edit lại giùm. Thanks

Mình chỉ biết dùng L'Hospital để giải quyết những bài dạng $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ , còn ví dụ như $\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} $ thì dùng làm sao ?

[mat troi moc]

Mình chỉ biết dùng L'Hospital để giải quyết những bài dạng $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ , còn ví dụ như $\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} $ thì dùng làm sao ?

Trước tiên bạn phải biết cách giải quyết dạng $ 0. \infinite $ bằng cách viết dưới dạng lũy thừa -1
Có 2 cách để giải quyết dạng mũ, tất cả đều đưa về dạng trên:
bạn có thể lấy logarit 2 vế hoặc viết dưới dạng e mũ ln của 1 biểu thức.

[quanganhct]

Mình vẫn không dùng l'Hospital được . Tuy nhiên , áp dụng cách khác , có :
$\lim_{x\to + \infty } (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} = \lim_{x\to + \infty }e^{-\dfrac{x^{2-\alpha}}{2}}$
Do đó :

$\alpha=2$ được $\displaystyle e^{-\dfrac{1}{2}}$

$\alpha<2$ được 1

$\alpha>2$ được 0

[mat troi moc]

Sao bài trên bạn ghi 0+ còn bài dưới là vô cực rồi
Đối với bài toán đầu chỉ cần lấy ln 2 vế rồi áp dụng L'Hospital's rule.