Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{ \begin{array}{l} xyz \leq 2 \\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} <k \end{array} \right. $$
Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq 2$ sao cho $x,y,z$ là ba cạnh của tam giác.
Giả sử $x$ là số lớn nhất
Cho $y=z=1,x\rightarrow 2\Rightarrow k\rightarrow \frac{9}{4}$
Ta CM $k=\frac{9}{4}$ là hằng số lớn nhất thỏa mãn, tức là CM bài toán tương đương với bài toán gốc như sau:
" Cho $x,y,z>0$, $x \geq y+z$ và $xyz \leq 2$. Chứng minh $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{9}{4}$ $(*)$"
Ta có: $2\geq yz(y+z)\geq 2yz\sqrt{yz}\Rightarrow yz\leq 1(1)$
Do đó: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{y^2z^2}{4}+\frac{2}{yz}$ (do $xyz\leq 2$ và $AM-GM$)
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x^2}\geq \left ( \frac{y^2z^2}{4}+\frac{1}{4yz}+\frac{1}{4yz} \right )+\frac{3}{2yz}\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$ (theo $AM-GM$ và $(1)$)
Vì vậy $(*)$ được CM. Trở lại bài toán gốc, nếu $x,y,z$ ko phải độ dài ba cạnh tam giác thì $x \geq y+z$ và $xyz \leq 2$$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2}\geq \frac{9}{4}=k$ (mâu thuẫn)
Vậy với mọi $k$, $2\leq k<\frac{9}{4}$ thì $x,y,z$ là độ dài $3$ cạnh tam giác
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 10-08-2014 - 19:56