Đến nội dung


Hình ảnh

Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq2$ sao x,y,z thỏa mãn điều kiện trên thì x,y,z là ba cạnh của tam giác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 04-03-2007 - 20:13

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện

$$\left\{ \begin{array}{l} xyz \leq 2 \\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} <k \end{array} \right. $$
Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq 2$ sao cho $x,y,z$ là ba cạnh của tam giác.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 02-08-2014 - 22:30

Quy ẩn giang hồ

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-08-2014 - 21:15

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 10/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 10-08-2014 - 19:55

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện

$$\left\{ \begin{array}{l} xyz \leq 2 \\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} <k \end{array} \right. $$
Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq 2$ sao cho $x,y,z$ là ba cạnh của tam giác.

Giả sử $x$ là số lớn nhất

Cho $y=z=1,x\rightarrow 2\Rightarrow k\rightarrow \frac{9}{4}$

Ta CM $k=\frac{9}{4}$ là hằng số lớn nhất thỏa mãn, tức là CM bài toán tương đương với bài toán gốc như sau:

   

      " Cho $x,y,z>0$, $x \geq y+z$ và $xyz \leq 2$. Chứng minh $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{9}{4}$  $(*)$"

 

Ta có: $2\geq yz(y+z)\geq 2yz\sqrt{yz}\Rightarrow yz\leq 1(1)$

 

Do đó: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{y^2z^2}{4}+\frac{2}{yz}$ (do $xyz\leq 2$ và $AM-GM$)

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x^2}\geq \left ( \frac{y^2z^2}{4}+\frac{1}{4yz}+\frac{1}{4yz} \right )+\frac{3}{2yz}\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$ (theo $AM-GM$ và $(1)$)

 

Vì vậy $(*)$ được CM. Trở lại bài toán gốc, nếu $x,y,z$ ko phải độ dài ba cạnh tam giác thì $x \geq y+z$ và $xyz \leq 2$$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2}\geq \frac{9}{4}=k$ (mâu thuẫn)

 

Vậy với mọi $k$, $2\leq k<\frac{9}{4}$ thì $x,y,z$ là độ dài $3$ cạnh tam giác


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 10-08-2014 - 19:56





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh