Đề thi Olympic toán THCS Hy Lạp
Năm 2005
Bài 1 :
Hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD \ \ ,\ \ CD=2AB$ và $DB \perp BC$ . $E$ là giao điểm của $DA$ và $CB$ , $M$ trung điểm của $DC$ .
i, Chứng minh$ ABMD$ là là hình thoi.
ii, Chứng minh rằng tam giác $CDE$ cân.
iii, Nếu $AM$ cắt $BD$ tại $O$ , $OE$ cắt $AB$ tại $N$ .Chứng minh rằng $DN$ chia đôi $EB$.
Bài 2 :
Cho hàm f thỏa mãn $\large{f(n)=\dfrac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$ với mọi số tự nhiên $n$ , Tính:
(a) $f(1)$.
(b) $A=f(1)+f(2)+...+f(400)$ .
Bài 3 :
$A$ điểm ngoài của một đường tròn cho trước .Xác định những điểm $B, C, D$ trên đường tròn sao cho tứ giác ABCD là tứ giác lồi và có diện tích lớn nhất .
Bài 4:Tìm các số nguyên $\large{a, b, c, d}$ khác $0$ thỏa mãn $\large{a>b>c>d}$ sao cho $\large{ab+cd=34}$ và $\large{ac-bd=19}$
Hi Lạp 2005
Bắt đầu bởi vo thanh van, 11-03-2007 - 11:16
#1
Đã gửi 11-03-2007 - 11:16
#2
Đã gửi 21-03-2012 - 19:00
Mình làm bài 4:Bài 4:Tìm các số nguyên $\large{a, b, c, d}$ khác $0$ thỏa mãn $\large{a>b>c>d}$ sao cho $\large{ab+cd=34}$ và $\large{ac-bd=19}$
Từ $ab+cd=34$ và $ac-bd=19$
Suy ra $ \left( ab+cd \right) ^{2}+ \left( ca-bd \right) ^{2} =34^2+19^2$
Hay $ \left( {b}^{2}+{c}^{2} \right) \left( {a}^{2}+{d}^{2} \right) =1517=37.41$
Mà $a, b, c, d$ là các số nguyên nên: ${b}^{2}+{c}^{2}$ và ${a}^{2}+{d}^{2}$ đều lớn hơn 1
Vậy: $\begin{cases} a^2+d^2=37 &\\ b^2+c^2=41 & \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} a^2+d^2=41 &\\ b^2+c^2=37 & \end{cases}$
Mà $37=1^2+6^2$, $41=4^2+5^2$ và $\large{a>b>c>d}$
Do đó $\begin{cases} a=6 &\\ b=5 &\\ c=4 &\\ d=1 \end{cases}$
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#3
Đã gửi 22-03-2012 - 12:23
Bài 2 :
Cho hàm f thỏa mãn $\large{f(n)=\dfrac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$ với mọi số tự nhiên $n$ , Tính:
(a) $f(1)$.
(b) $A=f(1)+f(2)+...+f(400)$ .
$\frac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{n+1+n+2\sqrt{n(n+1)}-\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-$$\frac{\sqrt{n(n+1)}\times (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{n+1-n}$ = $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}=(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}$
A=$\sqrt{401}-1$
đúng không nhỉ?
Cho hàm f thỏa mãn $\large{f(n)=\dfrac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$ với mọi số tự nhiên $n$ , Tính:
(a) $f(1)$.
(b) $A=f(1)+f(2)+...+f(400)$ .
$\frac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{n+1+n+2\sqrt{n(n+1)}-\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-$$\frac{\sqrt{n(n+1)}\times (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{n+1-n}$ = $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}-(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}=(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}$
A=$\sqrt{401}-1$
đúng không nhỉ?
- perfectstrong yêu thích
#4
Đã gửi 22-03-2012 - 12:30
Bài 3 :
$A$ điểm ngoài của một đường tròn cho trước .Xác định những điểm $B, C, D$ trên đường tròn sao cho tứ giác ABCD là tứ giác lồi và có diện tích lớn nhất .
diện tích tứ giác ABCD = $\frac{1}{2}AC\times BD\times sin\widehat{AID}\leq \frac{1}{2}\times 2R\times 2R\times sin90 =2R^{2}$
= khi ABCD là hình vuông
$A$ điểm ngoài của một đường tròn cho trước .Xác định những điểm $B, C, D$ trên đường tròn sao cho tứ giác ABCD là tứ giác lồi và có diện tích lớn nhất .
diện tích tứ giác ABCD = $\frac{1}{2}AC\times BD\times sin\widehat{AID}\leq \frac{1}{2}\times 2R\times 2R\times sin90 =2R^{2}$
= khi ABCD là hình vuông
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh