Chủ đề này có 4 trả lời

[ttbytm261]

Cho tam giác ABC và 3 điểm A', B', C' lần lượt thuộc 3 đường thẳng chứa 3 cạnh BC, CA, AB mà không trùng với đỉnh. CM: AA', BB', CC, mà có hai trong 3 cắt mhau thì chúng đồng quy khi và chỉ khi AB'/B'C*CA'/A'B*BC'/C'A=1

[waterblue_90]

giả sử $\ AA' \cap BB' = I$ $\ C" = CI \cap AB$
dễ có $\dfrac{AC"}{BC"} = \dfrac{AC'}{BC'} \Rightarrow C" \equiv C' \Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi waterblue_90: 23-03-2007 - 23:31

[ttbytm261]

Mình bổ sung thêm: AA', BB' không cắt nhau thì cả 3 song song khi và chỉ khi AB'/B'C*CA'/A'B*BC'/C'A=1. Ai có bài liên quan đến định lý đảo này thì post lên nhé.

[hieu0011]

Gọi O là giao điểm của 3 đường thẳng AA', BB', CC'. Ta có:
BA'/A'C = S BAA'/ S CAA' = S BA'O/ S A'OC = S AOB/ S AOC (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
C/m tương tự ta có:
CB'/B'A = S COB / S AOB
và AC'/ C'B = S AOC/ S BOC
Ta có:
BA'/A'C * CB'/B'A * AC'/C'B = S AOB/ S AOC * S COB / S AOB * S AOC/ S BOC =1

[hieu0011]

C/m ngược lại:
Gọi AA' cắt BB' tại O, CO cất AB tại C''.
Vì ta có AA',BB',CC'' đồng quy tại O nên ta có: BA'/A'C * CB'/B'A * AC''/C''B =1.
Mà ta có BA'/A'C * CB'/B'A * AC'/C'B =1 nên suy ra C' trùng C'' (C' và C'' nằm trên đoạn thẳng AB)
Suy ra : AA', BB', CC' đồng quy tại O