Chủ đề này có 2 trả lời

[duyenmit]

Chứng minh tam giác ABC đều nếu
$ cos^{2} \dfrac{A}{2} + cos^{2} \dfrac{B}{2} + cos^{2} \dfrac{C}{2} -2= \dfrac{1}{4} \cos\dfrac{A-B}{2} \cos \dfrac{B-C}{2}\cos \dfrac{C-A}{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuchung: 19-07-2009 - 19:54

[minhhung_2811]

Ta có:

$\cos \dfrac{{A - B}}{2} = \dfrac{{\sin A + \sin B}}{{2\sin \dfrac{{A + B}}{2}}} = \dfrac{{\sin A + \sin B}}{{2\cos \dfrac{C}{2}}} \ge \dfrac{{2\sqrt {\sin A.\sin B} }}{{2\cos \dfrac{C}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {\sin A.\sin B} }}{{\cos \dfrac{C}{2}}}$

Ta lập các bất đằng thức tương tự rồi nhân vế theo vế, ta có:

$RHS = \dfrac{1}{4}\cos \dfrac{{A - B}}{2}.\cos \dfrac{{B - C}}{2}.\cos \dfrac{{C - A}}{2} \ge \dfrac{1}{4}\dfrac{{\sqrt {\sin A.\sin B} }}{{\cos \dfrac{C}{2}}}.\dfrac{{\sqrt {\sin B.\sin C} }}{{\cos \dfrac{A}{2}}}.\dfrac{{\sqrt {\sin C.\sin A} }}{{\cos \dfrac{B}{2}}}$

$= \dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sin A.\sin B.\sin C}}{{\cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{C}{2}}} = 2\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}$

$= \left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} - \cos \dfrac{{A + B}}{2}} \right).\sin \dfrac{C}{2}$

$= \cos \dfrac{{A - B}}{2}.\sin \dfrac{C}{2} - {\sin ^2}\dfrac{C}{2}$

$= \dfrac{1}{2}\left( {\sin \dfrac{{A - B + C}}{2} + \sin \dfrac{{ - A + B + C}}{2}} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}\dfrac{C}{2}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\cos B + \dfrac{1}{2}\cos A - 1 + {\cos ^2}\dfrac{C}{2} = {\cos ^2}\dfrac{A}{2} + {\cos ^2}\dfrac{B}{2} + {\cos ^2}\dfrac{C}{2} - 2 = LHS$

Dấu $ "=" $ xảy ra khi và chỉ khi $\sin A = \sin B = \sin C \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 17-04-2010 - 23:35

[Magus]

bài này post hơn 3 năm trước giờ mới có lời giải