Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 quang hien

quang hien

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 12-04-2005 - 16:08

Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $r_1,r_2,r_3,r_4$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $OAB,OBC,OCD,ODA$ .Chứng minh rằng: Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp khi và chỉ khi:
$$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}$$.



----------------
DDTH

#2 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 22-11-2012 - 13:40

Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $r_1,r_2,r_3,r_4$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $OAB,OBC,OCD,ODA$ .Chứng minh rằng: Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp khi và chỉ khi:
$$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}$$.



----------------
DDTH


Ký hiệu $a,b,c,d,x,y,z,t$ lần lượt là độ dài các đoạn thẳng $AB,BC,CD,DA,OA,OB,OC,OD$ và $\alpha =\widehat{BOC}$
Ta có: $\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{3}}=\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{4}}$

$\Leftrightarrow \frac{x+y+a}{x.y.sin\alpha }+\frac{z+t+c}{z.t.sin\alpha }=\frac{y+z+b}{y.z.sin\alpha }+\frac{x+t+d}{x.t.sin\alpha }$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{a}{xy}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{c}{zt}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{b}{yz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}+\frac{d}{xt}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{xy}+\frac{c}{zt}=\frac{b}{yz}+\frac{d}{xt}$

$\Leftrightarrow a.z.t+c.y.x=b.x.t+d.y.z$
$\Leftrightarrow (a.z.t+c.y.x)^{2}=(b.x.t+d.y.z)^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}z^{2}t^{2}+c^{2}y^{2}x^{2}+2.a.c.x.y.z.t= b^{2}x^{2}t^{2}+d^{2}y^{2}z^{2}+2.b.d.x.y.z.t$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}+2xy.cos\alpha ).z^{2}t^{2}+(z^{2}+t^{2}+2zt.cos\alpha ).x^{2}y^{2}+2.a.c.x.y.z.t$ $= (y^{2}+z^{2}-2yz.cos\alpha ).x^{2}t^{2}+(x^{2}+t^{2}-2xt.cos\alpha ).z^{2}y^{2}+2.b.d.x.y.z.t$
$\Leftrightarrow 2zt.cos\alpha +2xy.cos\alpha +2ac=-2xt.cos\alpha -2yz.cos\alpha +2bd$
$\Leftrightarrow (c^{2}-z^{2}-t^{2})+(a^{2}-x^{2}-y^{2})+2ac=(d^{2}-x^{2}-t^{2})+(b^{2}-y^{2}-z^{2})+2bd$
$\Leftrightarrow (a+c)^{2}=(b+d)^{2}$
$\Leftrightarrow a+c=b+d$
$\Leftrightarrow$ $ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp đường tròn.

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3 gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An

Đã gửi 22-11-2012 - 19:45

Một cách khác (cũng không khác lắm) của anh Sang bên MS
http://forum.mathsco...?t=20713&page=3
http://forum.mathsco...?t=20713&page=4

LKN-LLT


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-11-2012 - 12:46

Chấm điểm
hoangtrunghieu22101997: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh