Đến nội dung


Hình ảnh

Cauchy-Schwarz


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 176 trả lời

#21 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là "đánh ba",đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 16:22

7) $\large\ S \geq \sqrt{(a+b+c)^2+[\sum\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}]^2} $
$\large\sum\dfrac{1}{\sqrt{b+c}} \geq \dfrac{3}{\sqrt[6]{\dfrac{8}{27}(a+b+c)^3}} => S \geq \sqrt{6^2+\dfrac{9}{4}} $

#22 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là "đánh ba",đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 16:31

12) Đặt S=a+b+c+d+1 Ta có:
$\large\ VT=\sum\dfrac{a}{S-a} =\sum\dfrac{a^2}{a(S-a)} \geq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{\sum a(S-a)} $
Mà $\large\sum a(S-a) =(a+b+c+d)^2+(a+b+c+d)-(a^2+b^2+c^2+d^2) \leq \dfrac{1}{4}(a+b+c+d)(3a+3b+3c+3d+4) $
$\large\ => VT \geq \dfrac{4(a+b+c+d)}{3a+3b+3c+3d+4} \geq 1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 15-04-2007 - 16:31


#23 dtdong91

dtdong91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1791 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K35-THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An
  • Sở thích:đá bóng ,làm toán ,đọc sách

Đã gửi 15-04-2007 - 16:32

Bài 12 dùng ngay svác
$ \sum \dfrac{a}{1+b+c+d} \geq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{\sum a+2(\sum ab)}$
Bài 13 dùng tương tự rùi xài Am-GM
Bài 14 là bài IMO 1995 thì phải làm dễ lém
Đặt $ a=\dfrac{1}{x},...$ đưa về $ \sum \dfrac{x^2}{y+z} \geq \dfrac{3}{2}$
bài 15 là Poland 1991 tương tự với bài này
http://diendantoanho...showtopic=30486
12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN

#24 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là "đánh ba",đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 16:41

Tặng Chú Văn nè: CMR: $\large\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2 $mọi x,y,z >-1

#25 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là "đánh ba",đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 16:44

Tặng chú Đông: Cho các giả thiết sau: $\ 0 \leq a \leq b \leq c \leq d $
$\large\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c} \geq 3 $
$\large\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c} \geq 2 $
CMR: $\large\ a^4+b^4+c^4-d^4 \leq 17 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 15-04-2007 - 17:13


#26 dtdong91

dtdong91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1791 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K35-THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An
  • Sở thích:đá bóng ,làm toán ,đọc sách

Đã gửi 15-04-2007 - 16:48

Bài 17 dùng chọn điểm rơi trong Bunnhia :D
$ \sqrt[3]{(a^2+\dfrac{1}{b^2})(x^3+y^3)(x^3+y^3)} \geq x^2 \sqrt[3]{a^2}+y^2\sqrt[3]{\dfrac{1}{b^2}}$
Rùi sau đó dùng thêm chọn điểm rơi trong cauchy
$ m\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2}}$ với m <1
và tìm min $ \sum \sqrt[3]{a^2}$
các bài tiếp theo làm tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtdong91: 15-04-2007 - 16:49

12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN

#27 dtdong91

dtdong91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1791 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K35-THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An
  • Sở thích:đá bóng ,làm toán ,đọc sách

Đã gửi 15-04-2007 - 16:55

ơ hơ bài của DŨng tặng mình "kỳ" quá ta :D
Cho d=4,c=1 là t/mãn 2 hệ rùi nhưng $ a^4+b^4+c^4+d^4 \ge 257$ lận :D
12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN

#28 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 17:13

Sorry Đông mình sửa lại đề rùi

#29 Sk8ter-boi

Sk8ter-boi

    (~.~)rubby(^.^)

  • Thành viên
  • 427 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:raffles-singapore
  • Sở thích:abc....abc xyz &gt;.&lt;

Đã gửi 15-04-2007 - 18:18

$17+d^4=a^4.\dfrac{1}{a^4} +b^4. \dfrac{16}{b^4} +c^4.\dfrac{d^4}{c^4}
=(a^4-b^4) \dfrac{1}{a^4} +(b^4-c^4)(\dfrac{1}{a^4} + \dfrac{16}{b^4} )+c^4( \dfrac{1}{a^4} + \dfrac{16}{b^4} + \dfrac{d^4}{c^4} ) \geq (a^4-b^4)+2(b^4-c^4)+3c^4=a^4+b^4+c^4$
  • MIM yêu thích

i love 9C -- i luv u :x .... we'll never fall apart , but shine forever

9C - HN ams

#30 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 19:13

Sai rùi bạn ơi ở đâu ra$\large\dfrac{1}{a^4} \geq 1 ;\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{16}{b^4} \geq 2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 15-04-2007 - 19:13


#31 Sk8ter-boi

Sk8ter-boi

    (~.~)rubby(^.^)

  • Thành viên
  • 427 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:raffles-singapore
  • Sở thích:abc....abc xyz &gt;.&lt;

Đã gửi 15-04-2007 - 21:04

vậy thay vì đi cửa chính để vào nhà , ta đành trèo cửa sổ :D
ABEL ngược lại ta có
$17+d^4=a^4.\dfrac{1}{a^4} +b^4. \dfrac{16}{b^4} +c^4.\dfrac{d^4}{c^4}
=(c^4-b^4) \dfrac{d^4}{c^4} +(b^4-a^4)(\dfrac{d^4}{c^4} + \dfrac{16}{b^4} )+a^4( \dfrac{1}{a^4} + \dfrac{16}{b^4} + \dfrac{d^4}{c^4} ) \geq (c^4-b^4)+2(b^4-a^4)+3a^4=a^4+b^4+c^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:35

i love 9C -- i luv u :x .... we'll never fall apart , but shine forever

9C - HN ams

#32 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 21:24

Thử bài này xem cho a,b,c dương thỏa ab+bc+ca=1 CMR:
$\large\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{5}{2} $ (D�ồn biến ko dành cho THCS)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:36


#33 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 01-07-2007 - 22:21

bài này là 1 ứng dụng quen thuộc của p,q,r :D ko biết có Cauchy-Schawz được ko :D
Ai thử chứng minh cái này nè sau khi dùng cho bài trên thì ra rứa :D, nhìn vào đoán thôi mình cũng chưa thử :D
$(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\ge ab(a+b)+bc(c+b)+ca(c+a)$
Hoặc ko thì chặt hơn nè:
$(a^2+b^2+c^2)^2(ab+bc+ca)\ge ab(a^3+b^3)+bc(c^3+b^3)+ca(c^3+a^3)$
Hi vọng là 1 trong 2 cái đúng, vì bdt là đối xứng nên có rất nhiều cách giải quyết :D thử nào ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:36


#34 10maths_tp0609

10maths_tp0609

    Zarai Nakeda XIII

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Đến từ:THPT NK Trần Phú, Hải Phòng
  • Sở thích:Maths

Đã gửi 02-07-2007 - 00:14

bài này là 1 ứng dụng quen thuộc của p,q,r :D ko biết có Cauchy-Schawz được ko :D
Ai thử chứng minh cái này nè sau khi dùng cho bài trên thì ra rứa :D, nhìn vào đoán thôi mình cũng chưa thử :D
$(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\ge ab(a+b)+bc(c+b)+ca(c+a)$
Hoặc ko thì chặt hơn nè:
$(a^2+b^2+c^2)^2(ab+bc+ca)\ge ab(a^3+b^3)+bc(c^3+b^3)+ca(c^3+a^3)$
Hi vọng là 1 trong 2 cái đúng, vì bdt là đối xứng nên có rất nhiều cách giải quyết :D thử nào ...


Hic, bất đẳng thức ko đ�ồng bậc, hay ó đk gì nhỉ, ku zai vào em thử xem thế nào :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:36

Zarai "từ cấm"a XIII

#35 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 02-07-2007 - 11:08

uhm chắc nhầm roài :D thoai cứ p,q,r là xong :D lười tìm cách mới quá ... đa số bdt đối xứng ở dạng vừa và dễ đều giải được bằng p,q,r cả :D Bài này cũng khá đặc biệt vì nó là xuất phát từ bài Iran 96 và lời giải của nó sử dụng 3 bdt schur ở cả 3 bậc 1,2,3 ... mấy em THCS tìm hộ anh 1 cách bằng Cauchy xem nào ... tò mò quá :D

#36 trungcoTH

trungcoTH

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 08-08-2007 - 11:10

anh nào làm ơn giải giùm lại bài VN MO 96 đi
thank nhiều

#37 chien than

chien than

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Đến từ:Lớp 10 toán 1 trường ĐHSPHN

Đã gửi 11-09-2007 - 21:02

Thử bài này xem cho a,b,c dương thỏa ab+bc+ca=1 CMR:
$\large\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{5}{2} $ (D�ồn biến ko dành cho THCS)


Cách 1:
Bổ đề: $a+b+c+\dfrac{5}{3}abc \geq 2$ với $a;b;c$ thỏa mãn ĐK trên
Thật vậy,giả sử $c \geq b \geq a$.Thay $c=\dfrac{1-ab}{a+b}$,ta phải CM:
$\dfrac{1-ab}{a+b}(1+\dfrac{5}{3}ab) \geq 2-a-b$
<=>$ab(2-5ab)+3(a+b-1)^2 \geq 0$
BDT này hiển nhiên đúng do $ab \leq \dfrac{1}{3}$
Trở lại bài toán: BDt cần CM tương đương:
$\sum 2(a+b)(b+c)\geq 5(a+b)(b+c)(c+a)$
<=>$2(a+b+c)^2+5abc+2 \geq 5(a+b+c)$
Theo CM trên ta có:$5abc \geq 6-3(a+b+c)$,do đó:
$2(a+b+c)^2+5abc+2-5(a+b+c) \geq 2(a+b+c)^2+8-8(a+b+c)=2(a+b+c-2)^2 \geq 0$
Đẳng thức xảy ra <=>$b=c=1;a=0$ hoặc các hoán vị!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:37


#38 chien than

chien than

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Đến từ:Lớp 10 toán 1 trường ĐHSPHN

Đã gửi 11-09-2007 - 21:03

Thử bài này xem cho a,b,c dương thỏa ab+bc+ca=1 CMR:
$\large\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{5}{2} $ (D�ồn biến ko dành cho THCS)

Cách 2:Không mất tính tổng quát,giả sử $a \geq b \geq c$.Chọn số $t>0$ sao cho $t^2+2tc=ab+bc+ca=1$
=>$(t+c)^2=(a+c)(b+c)=1+c^2$
Ta sẽ CM:
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{2}{t+c}+\dfrac{1}{2t}$
<=>$(\dfrac{1}{\sqrt{a+c}}-\dfrac{1}{\sqrt{b+c}})^2 \geq \dfrac{(\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c})^2}{2t(a+b)}$
<=>$(a+c)(b+c) \leq 2t(a+b)$( đúng do $a \geq t \geq b \geq c)$.Ta chỉ việc CM bài toán khi $a=b \geq c$
Ta có BDT $\dfrac{2}{t+c}+\dfrac{2}{2t} \geq \dfrac{5}{2}$
Với $2tc+t^2=1$<=>$c=\dfrac{1-t^2}{2t}$
Thay $c$ vào BDT trên r�ồi quy đ�ồng mẫu số ,BDT trở thành:
$(1-t)(5t^2-4t+1) \geq 0$(hiển nhiên đúng do $t \leq 1$)
Đẳng thức xảy ra <=>$a=b=1;c=0$ và các hoán vị!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:35


#39 chien than

chien than

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Đến từ:Lớp 10 toán 1 trường ĐHSPHN

Đã gửi 11-09-2007 - 21:06

Thử bài này xem cho a,b,c dương thỏa ab+bc+ca=1 CMR:
$\large\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{5}{2} $ (D�ồn biến ko dành cho THCS)


... có thể đặt $ t=\dfrac{a+b}{2} $ vẫn thỏa đk, ta có $ f(a,b,c)=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{4}{b+2c+a}+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{2}{t+c}+\dfrac{1}{2t} $ Sau đó CM $ \dfrac{2}{t+c}+\dfrac{1}{2t} \geq \dfrac{5}{2} $........:)
Ngoài ra còn 2 cách nữa anh pót lên lun...Khi cho c=0 Ta CMR: $ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a+b} \geq \dfrac{5}{2} $ với ab=1(Cái này đúng các pác tự kiểm tra nha)
Xét $ f(a,b,c)-f(a+b,\dfrac{1}{a+b},c)=(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+ \dfrac{1-ab}{a+b}}+\dfrac{1}{b + \dfrac{1-ab}{a+b}})-(\dfrac{1}{a+b}+a+b+\dfrac{1}{a+b+\dfrac{1}{a+b}}) =\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}-1-\dfrac{1}{1+(a+b)^2} $ Qiu đ�ồng lên => dpcm........

Ngoài ra còn 1 cách nữa là dùng Bất Đẳng Thức Iran96
Ta có $ (ab+bc+ac)(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+ \dfrac{1}{(c+a)^2}) \geq \dfrac{9}{4} $
Ta có $(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})^2 =\sum \dfrac{1}{(a+b)^2}+ \dfrac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \dfrac{9}{4}+4=\dfrac{25}{4} $(Do $ (a+b+c)(ab+bc+ac) \geq (a+b)(b+c)(c+a) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 19-08-2011 - 11:21


#40 NPKhánh

NPKhánh

    Tiến sĩ toán

  • Thành viên
  • 1115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:maths.vn
  • Sở thích:Nghiên cứu Toán học

Đã gửi 10-11-2007 - 14:26

Một số cách giải khác được đề cập tại

http://toanthpt.net/...splay.php?f=352

http://mathsvn.violet.vn trang ebooks tổng hợp miễn phí , nhiều tài liệu ôn thi Đại học



http://www.maths.vn Diễn đàn tổng hợp toán -lý - hóa ... dành cho học sinh THCS ;THPT và Sinh viên





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh