c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $$\left[ a(cy+bz)+bcx \right]^2 \le (a^2+x^2) \left[ (cy+bz)^2+b^2c^2 \right]$$
Bất đẳng thức đưa về việc chứng minh $$\begin{array}{l} 4(b^2+y^2)(c^2+z^2) \ge 3 \left[ (cy+bz)^2+b^2c^2 \right] \\ \Leftrightarrow (bc-2yz)^2+(bz-cy)^2 \ge 0. \end{array}$$
Cái này thì dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{cy+bz}= \frac{x}{bc}$ và $bc=2yz,bz=cy$ hay $a=\sqrt{2}x, b= \sqrt{2}y, c= \sqrt{2}z$.
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz ta có $$(a+b+c)^2 \le \left( \frac ab+ \frac bc + \frac ca \right)(ab+bc+ca)$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$$\begin{array}{l} \left( \frac 1a+ \frac 1b + \frac 1c \right)(ab+bc+ca) \le (a+b+c) \left( \frac ab + \frac bc + \frac ca \right) \\
\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2 \le (a+b+c)(a^2c+ab^2+c^2b) \\ \end{array}$$
Bất đẳng thức cuối đúng theo Cauchy-Shwarz.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \qquad (1)$
Lời giải. $$(1) \Leftrightarrow \frac{a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2}{abc} \ge a^3c+b^3a+c^3b$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz thì $$a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2= \frac{a^6c^2}{a}+ \frac{b^6a^2}{b}+ \frac{c^6b^2}{c} \ge \frac{(a^3c+b^3a+c^3b)^2}{a+b+c}$$
Do đó $\frac{a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2}{abc} \ge \frac{(a^3c+b^3a+c^3b)^2}{abc(a+b+c)}.$ Ta chỉ cần chứng minh $$\begin{array}{l} abc(a+b+c) \le a^3c+b^3a+c^3b \\ \Leftrightarrow a+b+c \le \frac{a^2}{b}+ \frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a} \end{array}$$
Bất đẳng thức cuối cũng đúng theo Cauchy-Schwarz.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-01-2013 - 19:51
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).