Chủ đề này có 13 trả lời

[dungdailoan]

Các bậc tiền bối và anh Kakalotte ơi, bắt đầu đọc Biểu diễn nhóm thì đọc cuốn nào được nhỉ? Àh mà đọc cái thứ ấy thì cần đọc những cái gì bổ sung nhỉ. Xin chỉ giáo.

[Alexi Laiho]

giải tích điều hòa, hình học vi phân, vật lý lý thuyết, hình học đại số.

[Kakalotta]

Đại số toán tử, hình học noncommutative, hình học symplectic.

[dungdailoan]

Trời ơi đọc nhiều thứ rứa. Chắc phải tu luyện một vài năm mới đọc được thứ ấy rồi. Các bác liệt kê một số Tác Giả để đọc đi.

[toanhoc]

Có lẽ các bác ấy nói đến biểu diễn của nhóm loccally compact hoặc thứ gì tương tự nên mới nghe kinh thế. Nếu bạn mới bắt đầu thì học biểu diễn discrete groups (cụ thể là finite groups) trước đi. Ý tưởng rõ ràng mà cũng chẳng hề tầm thường chút nào. Sách tôi đề nghị "Character of finite groups" của Martin Isaacs. Bắt đầu từ biểu diễn trên C, ngay ở đây bạn đã thấy có kết quả hay như định lý p^aq^b, sau đó là modular representation theorem và hình như kết thúc với Glauberman Z^*-theorem thì phải. Các bác chuyên về group theory có thể bảo bạn đọc quyển của Curtis-Reiner nhưng tôi thấy quyển đó ko tốt cho beginner. Tôi nghe đồn lý thuyết trên nhóm hữu hạn quan trọng trong Classification of finite simple groups. Có lẽ bạn đã từng nghe sự phức tạp cũng như ý nghĩa quan trọng của công trình trải dài hơn trăm năm này. Sau khi đã nắm được các ý tưởng cơ bản rồi thì bạn có thể học các nhóm kèm theo cấu trúc khác như topological groups, lúc này representation sẽ không chỉ capture các thông tin về nhóm mà còn capture các cấu trúc kèm theo nữa. Một ví dụ có lẽ là unitary representation. Bạn sẽ hiểu rõ hơn những gì các bác Kaka và AL nói.
Về kiến thức thì bạn biết một ít về GL(n,k), một ít về module là có thể bắt đầu. Theo ý kiến của riêng tôi thì ý tưởng chính của rep. theory là để hiểu biết về 1 nhóm bạn tìm hiểu về actions của nó trên không gian vector và bạn yêu cầu là các actions này phải có dạng tuyến tính để bạn kéo các kỹ thuật đã biết trong đại số tuyến tính vào dùng. Tuy nhiên ứng với 1 không gian vector bạn có vô vàn cơ sở, bạn muốn 1 thứ gì đó độc lập với cơ sở. 1 hàm thỏa điều kiện này là trace. Từ đây bạn có character. Tuy nhiên, 1 rep không capture được những gì nằm trong kernel của rep (các phần tử act trivially trên không gian vector).
Vài ý kiến riêng. Hy vọng giúp ích.

[Kakalotta]

Quan điểm của tôi là ngươi mới học thì cần biết thật nhiều ví dụ cụ thể, và biết cách tính toán tường minh trên nó mỗi khi gặp một lý thuyết mới. ĐÓ là cách nhanh nhất để hiểu một lý thuyết nào đó.
Hệ quả, tôi khuyên nên chọn cuốn nào có càng nhiều ví dụ càng tốt. Ví dụ Fulton.


Về ý tưởng lý thuyết biểu diễn mà chúng tôi nói, đó là lý thuyết biểu diễn nhóm Lie/giải tích điều hòa trên nhóm Lie và mục tiêu của nó là để hiểu tính chất của nhóm.

Để hiểu được biểu diễn nhóm Lie, điều hiển nhiên là ta phải biết về hệ nghiệm và cấu trúc của nhóm Lie nửa đơn, đó là sơ đẳng.

Lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie thì tương đương hàm tử với lý thuyết biểu diễn của C*-đại số nhóm, do đó sinh ra khả năng sử dụng công của đại số toán tử để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.

Mặt khác, một hạt cơ bản có một nhóm đối xứng, do đó lý thuyết biểu diễn có một strong connection với bên vật lý hạt cơ bản, standard model và hai bên bổ sung lẫn nhau.

theo một nghĩa nào đó, cấu trúc của nhóm Lie được hiểu thông qua đại số bao phổ dụng của nó, cái mà là biến dạn của đại số đối xứng. Đại số này là đại số dạng hữu hạn, do đó có thể coi là hình học đại số không giao hoán và lý thuyết biến dạng xuất hiện. Nhóm lượng tử cũng xuất hiện ở đây. Giải tích điều hỏa của Harish-handra.

Nhóm cũng có thể coi là symmetry của một hệ vật lý, và phase space của một hệ vật lý là một đa tạp symplectic/Poisson. Thông qua giả thuyết của Kostant/Kirillov, nếu ta luợng tử hóa một hệ cơ học như vậy thì có thể thu được biểu diễn của nhóm Lie. Do đó, sinh ra khả năng sử dụng công cụ của hình học symplectic/ hình học Poisson/ lý thuyết đại số lượng tử để hiểu lý thuyết biểu diễn.

lý thuyết biểu diễn nhóm cũng là một trực quan rất mạnh của hình học Poisson. Ví dụ như tôi có thói quen nhìn một đa tạp Poisson như là một đại số, đa tạp symplectic như là đại số các toán tử compact, lý thuyết biểu diễn như là hàm tử giữa chúng.....

rất nhiều biểu diễn của nhóm xuất hiện từ lý thuyết cảm sinh Parabolic, và do đó xuất hiện hình học đại số/ đa tạp Schubet......

Một trong những quan điểm hiện đại khi nhìn nhận một đại số không giao hoán, đó là xem nó như là một đại số hàm trên một không gian nào đó, và điều này dẫn tới sự xuất hiện của hình học không giao hoán/hình học lượng tử/ lý thuyết biến dạng/ không gian moduli/ bất biến gromov-Witten nhập cuộc.

Khi đại số đó là các đại số vô hạn chiều xuất hiện trong lý thuyết trường lượng tử, ví dụ như đại số Virasoro, đại số Kac Moody... thì mọi chuyện còn vui vẻ nữa khi các công cụ của lý thuyết trường lượng tử/ lý thuyết dây xuất hiện. Chương trình Langland hình học....

Nói chung là còn nhiều, ngại kể quá, đi ngủ đây.

[toanhoc]

Các thứ Kaka nói đến phần lớn tôi không hiểu. Xin hỏi 1 điểm nhỏ trong đó thôi. Bạn có thể nói rõ hơn về cái này chăng ?

"Lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie thì tương đương hàm tử với lý thuyết biểu diễn của C*-đại số nhóm, do đó sinh ra khả năng sử dụng công của đại số toán tử để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie."

Có 1 isomorphic functor giữa 2 loại rep's ? Tôi không biết biểu diễn của C*-algebra. Bạn có thể nói rõ hơn ?

Có thể hiểu theo kiểu Morita equivalence được chăng ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc: 23-04-2007 - 23:12

[Kakalotta]

Chính xác là có tương đương hàm tử giữa hai lý thuyết này, nếu đó là nhóm compact địa phương.
Còn Morita Equivalence của đại số toán tử là một lý thuyết của M.Rieffel được định nghĩa cho phạm trù C*- đại số thông qua Rieffel tensor product, và là một công cụ rất mạnh trong lý thuyết biểu diễn và hình học noncommutative. Tôi có cơ hội đuợc học với người nghĩ ra lý thuyết này, và có một số thảo luận với ông.
Motivation của lý thuyết xuất phát từ lý thuyết biểu diễn, khi ông ta cố gắng suy rộng hàm tử cảm sinh trong lý thuyết biểu diễn cho phạm trù các C*-đại số và W*-đại số. Đó cũng là ví dụ cho việc sử dụng ý tưởng của lý thuyết biểu diễn nhóm cho C*-đại số, và do đó cho tiếp hình học Poisson, hình học nôncommutative... Xem qua tại trang thứ 7, http://math.berkeley...iles/Morita.pdf
Tuy nhiên, cái tương đương hàm tử của biểu diễn của nhóm và C*-đại số nhóm thì nó sơ cấp hơn nhiều. Biểu diễn của một nhóm thì thác triển lên thành biểu diễn của đại số toán tử, thông qua intergrated form......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 24-04-2007 - 00:32

[dungdailoan]

Àh mà anh Kakalot có biết ở Việt Nam ai làm về cái món này không? Ở trong miền Nam thì hình như chả có ai???

[Kakalotta]

Ở SG có giáo sư Nguyễn Hữu Anh, làm về giải tích điều hòa, theo trường phái của Harish Chandra.

[Alexi Laiho]

Nếu học giải tích điều hòa kiểu harish-chandra thì sẽ có connection sang bên lý thuyết biểu các nhóm reductive và giao của các đa tạp Schubert kéo theo ernumerative geometry, mặt khác giải tích điều hòa harish-chandra cho phép tiếp cận Dirac/BRST-cohomology tương đối tốt, nhưng học theo kiểu Harish-Chandra thì lâu lắm. Hiện đại hơn thì nên theo kiểu KK ý, noncommutative harmonic analysis vs. noncommutative geometry, nhưng phải đủ dũng cảm và kiên trì mới theo được kiểu KK cơ, chứ thích ăn xổi ở thì và học nhanh học chóng để đếm paper lên Prof thì tốt nhất chọn ngành khác bình dân thì hơn.

[dungdailoan]

Theo ý anh Kakalot nên đọc một lúc cả đống như vậy hả? Hay là đọc cuốn nào trước. Trong từng môn đó anh liệt kê một vài cuốn cho Beginer cho em với.
Àh, cám ơn anh nha, em không biết là GS Nguyễn Hữu Anh làm về cái món này.
Cái bài này http://math.berkeley...iles/Morita.pdf là bài báo của anh hả?
Cho em hỏi thêm bên lề một chút, hồi ở Việt Nam, anh làm với Thầy Diệp hả?

[Kakalotta]

Không, cái đó là một trong những bài tập về nhà của một môn học trong một học kì mà thôi, trong đó nói rõ ràng còn gì. Và chỉ là first draft.
Cần gì cụ thể cứ hỏi NHA là nhanh nhất. Hoặc là hỏi TLCT ấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 26-04-2007 - 00:22

[dungdailoan]

Em thử liên lạc rùi mà không thấy TLCT trả lời, chắc TLCT bận rùi . . . còn Thầy NHA thì không có địa chỉ . . .