6 replies to this topic

[duongdenvinhquang]

Bắt đầu cuộc thi khởi động mùa thi Đại Học:

1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số $ a$ để hệ sau có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn Điều kiện $ x\geq\4$:

$ \Large\left\{ \begin{array}{1}\Large\ sqrt{x}+\sqrt{y}=3 \\ \Large\sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\leq\ a \end{array}\right.$

2/Giải hệ Phương trình:
$\Large\left\{ \begin{array}{1}\Large\ x^3+y^3=8 \\ \Large\ x+y+2xy=2 \end{array}\right.$

3/Hai góc A,B của tam giác ABC thỏa mãn $ tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}}=1$

CMR : $\dfrac{3}{4}\leq\tan{\dfrac{C}{2} <1 $

Nguồn:Cuộc thi Toán THPT không chuyên

Đây là 3 bài tập mở đầu cho cuộc Thi Khởi động mùa thi Đại học ;Cao Đẳng. Của Box PT;BPT THPT của Mathnfriend.net

Các bạn hãy Post trực tiếp lời giải của mình lên topic này bên Mathnfriend.net

Chúng tôi sẽ tính điểm cho các bạn. Thể lệ cuộc thi bạn có thể xem tại

Phát động mùa thi Đại Học ;Cao Đẳng trên Mnf

Edited by duongdenvinhquang, 22-04-2007 - 19:42.

[supermember]

Bài 2 đặt S=x+y và P=xy đưa về hệ pt 2 ẩn S,P
Bài 3 sử dụng hệ thức:$\sum tg \dfrac{A}{2}tg \dfrac{B}{2} =1 $

Edited by supermember, 22-04-2007 - 20:42.

[dtdong91]

bài 3
Dùng $ tan(\dfrac{A+B}{2})=\dfrac{1}{tan (\dfrac{C}{2})}$
=>$ tan(\dfrac{C}{2}) =1-tan(\dfrac{A}{2})tan(\dfrac{B}{2})$
Đến đây thì VP hiển nhiến
VT dùng AM-GM

[supermember]

Bắt đầu cuộc thi khởi động mùa thi Đại Học:

1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số $ a$ để hệ sau có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn Điều kiện $ x\geq\4$:

$ \Large\left\{ \begin{array}{1}\Large\ sqrt{x}+\sqrt{y}=3 \\ \Large\sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\leq\ a \end{array}\right.$

Bài này có thể giải như sau:đặt$t=\sqrt{x} \geq 2 $,ta có:
$\sqrt{t^2+5}+\sqrt{(3-t)^2+3} \geq a $.Đến đây sử dụng điều kiện $t \geq 2 $ và Mincowski ta tìm đc miền giá trị của tham số a.

[duongdenvinhquang]

GIẢI:
Bài 1/
Tìm tất cả các giá trị của tham số $ a$ để hệ sau có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn Điều kiện $ x\geq\4$:
$ \Large\left\{ \begin{array}{1}\Large\ sqrt{x}+\sqrt{y}=3 \\ \Large\sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\leq\ a \end{array}\right.$

ĐK: $ x\geq\4; y\geq 0$

khi đó đặt $ y=t^2 (t>0)$ thì: $ t=3-\sqrt{x}\leq\ 3-2=1$
--> $ 0\leq t\leq 1$; $ x= t^2-6t+9 $
Thế vào:
$ \sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\leq\3$

ta được $ f(v)=\sqrt{(v-3)^2+5}+\sqrt{v^2+3}\leq\ a$
phải có nghiệm thuộc $ [0;1]$ $ min f(v)\leq\ a$

Xét $ f'(v)=\dfrac{v-3}{\sqrt{(v-3)^2+5}}+\dfrac{v}{\sqrt{(v^2+3)}}$

$ f'(v)=\dfrac{(v-3)\sqrt{v^2+3}+v\sqrt{(v-3)^2+5}}{\sqrt{(v-3)^2+5}\sqrt{v^2+3}}$

$f'(v)=0$ $ v\sqrt{(v-3)^2+5}=(3-v)\sqrt{v^2+3} (v\in[0,1])$

$ v^2[(v-3)^2+5]=(v-3)^2(v^2+3)$

$ 5v^2=3(v-3)^2$ vô nghiệm khi $v\in [0,1]$

$ f'(v)$ liên tục ; vô nghiệm khi $ v\in[0,1]$-->$ f'(v)$ không đổi dấu;

mà $ f'(1)=\dfrac{-2}{3}+\dfrac{1}{2} <0$

--> $ f'(v) <0$ khi $ v\in [0,1] --> f(v)$ nghịch biến

--> $ f(v) min=f(1)=5$
Kết luận: $ 5\leq a$

[duongdenvinhquang]

GIẢI:
Bài2/ Giải hệ Phương trình:
$\Large\left\{ \begin{array}{1}\Large\ x^3+y^3=8 \\ \Large\ x+y+2xy=2 \end{array}\right.$
Hệ này có lẽ đơn giản;
$\{\ x^3+y^3=8\\ x+y+2xy=2\$
$\{\ (x+y)(x^2+y^2-xy)=8\\x+y+2xy=2\$
Dễ thấy đây là hệ đối xứng kiểu (1) nên đặt $x+y=u ;xy=v$
ta được;
$\{\ u(u^2-3v)=8\\u+2v=2$
$\{ v=\dfrac{2-u}{2}\\2u^3+3u^2-6u-16=0\$
$\{ v=\dfrac{2-u}{2}\\(u-2)(2u^2+7u+8)=0\$
Vì $\ 2u^2+7u+8>0$(Do >0 và $ a=2>0$) nên
$\{u=2\\v=0\$
$\{x+y=2\\xy=0}\$
--> hệ có nghiệm $(x;y)=(0;2);(2;0)$
Bài 3/
Hai góc A,B của tam giác ABC thỏa mãn $ tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}}=1$

CMR : $\dfrac{3}{4}\leq\tan{\dfrac{C}{2} <1 $

ta có $ A+B+C=\pi$
nên $\
tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}}tan{\dfrac{C}{2}}+tan{\dfrac{C}{2}}tan{\dfrac{A}{2}}=1$

Sử dụng điều kiện của đề bài: $ tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}}=1$ ta được :

$ tan{\dfrac{C}{2}}(tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}})+tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}=1$

Có $ tan{\dfrac{A}{2}};tan{\dfrac{B}{2}}>0$

Nên $ tan{\dfrac{C}{2}}<1$

lại có: $ tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}\leq\dfrac{(tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}})^2}{4}$

hay $ tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}\leq\dfrac{1}{4}$

--> $ tan{\dfrac{C}{2}}\geq\dfrac{3}{4}$

[haquoctrong89]

Có $ tan{\dfrac{A}{2}};tan{\dfrac{B}{2}}>0$

Nên $ tan{\dfrac{C}{2}}<1$

lại có: $ tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}\leq\dfrac{(tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}})^2}{4}$

hay $ tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}\leq\dfrac{1}{4}$

--> $ tan{\dfrac{C}{2}}\geq\dfrac{3}{4}$

Giải thích giùm chỗ này
$tan{\dfrac{A}{2}};tan{\dfrac{B}{2}}>0$
tại sao bạn bít từng cái nó lớn hơn 0
tích của nó lớn hơn 0 thì có vẻ đúng hơn, bạn nên chỉnh lại để mọi người nhầm

Edited by haquoctrong89, 25-06-2007 - 22:24.