Chủ đề này có 5 trả lời

[cuong to ACBK]

Có ai biết cách c/m trong vành Z/p^r thì ta có :
( u + v )^( p^r ) = u^( p^r ) + v^( p^r)
( đây chính là ánh xạ Frobenius quen thuộc , nhưng mình chả hiểu c/m kiểu gì , p^r là lũy thừa tầng ,kobiết cách viết nên viết tạm như thế )
nhờ các tiền bạc ý lộn tiền bối chỉ giáo

[toanhoc]

Dùng khai triển Newton thôi

[song_ha]

Dùng khai triển Newton thôi

thêm vào ý toanhoc... là vì $ C^k_{p^r} \vdots p $

[Alexi Laiho]

Có thể nêu 1 ví dụ ứng dụng nho nhỏ của ánh xạ Frobenius trong hình học:

Xét trường đóng đại số $k = \bar{k}$ với $\text{char} k = p > 0$, ta định nghĩa ánh xạ Frobenius $Fr: X \rightarrow X$ với $X$ là k-algebraic scheme sao cho trên không gian topo nền $Id = Fr: |X| \rightarrow |X| $ và ánh xạ cảm sinh trên bó cho bởi $Fr$* : $\mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{O}_X, \quad f \rightarrow f^p$. Dễ thấy Frobenius tương thích với cấu xạ giữa các lược đồ đại số.

Trường hợp khá thú vị khi xét $C$ 1 đường cong đại số chính quy không kỳ dị, vậy thì bậc của ánh xạ Frobenius đúng với p. Việc chứng minh điều này hoàn toàn tầm thường được rút ra từ công thức Hurwitz: Chọn 1 điểm x cố định trên đường cong, ta có $deg(Fr) = deg_x (Fr) = \sum_{y \in Fr^{-1}(x)} dim_k \mathcal{O}_{C,y} / Fr$*$(m_x) \mathcal{O}_{C,y} = dim( \mathcal{O}_{C,x}/ m_x^p \mathcal{O}_{C,x} ) = p$. Điều này dẫn tới tồn tại duy nhất 1 điểm trong mỗi nghịch ảnh và $m_x^p = Fr$*$(m_x)$

Nếu $f: C \rightarrow D$ là 1 cấu xạ giữa các đường cong đại số chính quy không kỳ dị sao cho mở rộng trường $K ( C ) / K(D)$ là hoàn toàn bất khả tách vậy thì C sẽ đẳng cấu với D là f là ánh xạ $Fr^{r}$, với r là số nguyên không âm. Từ điều này kết hợp với 1 well-known result từ lý thuyết trường: Luôn tồn tại 1 mở rộng giữa $K ( C ) / L / K(D)$ sao cho L / K(D) là khả tách và K ( C ) / L hoàn toàn bất khả tách, ta sẽ nhận thấy với 1 cấu xạ bất kỳ giữa đường cong đại số chính quy không kỳ dị sẽ được phân tích thành hợp của 1 ánh xạ tách được với lũy thừa của ánh xạ Frobenius.

Hệ quả là: nếu f : C --> D hữu hạn và giống g_C = 0 thì g_D = 0. Từ đó chúng ta có thể chứng minh dễ dàng định lý Lüroth, định lý phát biểu như sau:
cho k đóng đại số, L trường con của k(t) với t siêu việt trên k sao cho L chứa k ( k là trường con thực sự của L) vậy thì mở rộng L / k là hoàn toàn siêu việt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 15-06-2007 - 02:05

[Alexi Laiho]

Nhân từ việc nói về định lý Lüroth như là 1 hệ quả ứng dụng từ ánh xạ Frobenius mình có điều này muốn hỏi mọi người:

Problem: Cho K = k(t_1,...,t_n) và L trường con của K sao cho k nằm trong L, trong đó t_i siêu việt trên k, k là đóng đại số, L/k là mở rộng hoàn toàn siêu việt . Câu hỏi đặt ra liệu L \cong k(u_1,...,u_n)?

Trường hợp n = 1 là định lý Lüroth
n= 2: Castelnuovo-Enrique'
n=3: Sai, phản ví dụ đưa ra bởi Griffiths

Thế còn các trường hợp số chiều cao hơn? Ai có biết kết quả gì ko?

[Alexi Laiho]

1 vấn đề đại số có thể giải quyết bằng hình học hay như thế này mà không ai quan tâm cả.