Đến nội dung


Hình ảnh

$71$% đa thức trong $S$ là 'đẹp'.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 DinhCuongTk14

DinhCuongTk14

    Tiến sĩ Diễn đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội

Đã gửi 24-05-2007 - 18:47

Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là  'đẹp'  nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là  'đẹp'.



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-02-2015 - 14:36

Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là  'đẹp'  nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là  'đẹp'.

Thử xét trường hợp $n=3$, tức là tập $S$ gồm các đa thức $P(x)$ có dạng $ax^3+bx^2+cx+d$ (trong đó $a,b,c,d\in \left \{ 1;2;3;4;5;6 \right \}$)

Ta chỉ cần xét trường hợp $k=2$.

Dễ thấy rằng :

+ Nếu $d$ chẵn và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $1$ hoặc cả $3$ hệ số đó đều chẵn thì mọi số hạng trong dãy $P(1);P(2);...$ đều là số nguyên dương chẵn, tức là chúng không nguyên tố cùng nhau với $k$, nên trong TH này $P(x)$ không phải là đa thức "đẹp"

+ Nếu $d$ lẻ và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $2$ hệ số chẵn thì mọi số hạng $P(m)$ trong dãy $P(1);P(2);...$ (với $m$ lẻ) đều là số nguyên dương chẵn, tức là chúng không nguyên tố cùng nhau với $k$, nên trong TH này $P(x)$ không phải là đa thức "đẹp"

 

+ Tính số đa thức thuộc $S$ thỏa mãn $d$ chẵn và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $1$ hệ số chẵn (tạm gọi là $M$)

  Chọn giá trị cho $d$ : $3$ cách

  Chọn vị trí cho hệ số chẵn khác $d$ : $3$ cách.

  Chọn giá trị cho hệ số chẵn : $3$ cách

  Chọn giá trị cho 2 hệ số lẻ : $3^2$ cách

$\Rightarrow M=3.3.3.3^2=243$

+ Tính số đa thức thuộc $S$ thỏa mãn cả $4$ hệ số đều chẵn (tạm gọi là $N$)

$N=3^4=81$

+ Tính số đa thức thuộc $S$ thỏa mãn $d$ lẻ và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $2$ hệ số chẵn (tạm gọi là $P$)

   Chọn giá trị cho $d$ : $3$ cách

  Chọn vị trí cho 2 hệ số chẵn : $3$ cách.

  Chọn giá trị cho hệ số lẻ khác $d$ : $3$ cách

  Chọn giá trị cho 2 hệ số chẵn : $3^2$ cách

$\Rightarrow P=3.3.3.3^2=243$

 

$\Rightarrow$ số đa thức "không đẹp" thuộc $S$ $\geqslant M+N+P=243+81+243=567$

Số đa thức thuộc $S$ là $6^4=1296$

$\Rightarrow$ tỷ lệ đa thức "đẹp" thuộc $S$ là $\leqslant \frac{1296-567}{1296}=56,25$% $< 71$%

---> đề bài sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-02-2015 - 17:48

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-02-2015 - 18:23


+ Nếu $d$ lẻ và trong $3$ hệ số $a,b,c$ có đúng $2$ hệ số chẵn thì mọi số hạng $P(m)$ trong dãy $P(1);P(2);...$ (với $m$ lẻ) đều là số nguyên dương chẵn, tức là chúng không nguyên tố cùng nhau với $k$, nên trong TH này $P(x)$ không phải là đa thức "đẹp"

Trong trường hợp này thì P vẫn không suy ra được là không đẹp vì định nghĩa đẹp ở đây là có vô số số hạng trong dãy nguyên tố cùng nhau với 2. Dù có vô số số không nguyên tố cùng nhau với 2 thì vẫn không suy ra được P không đẹp.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 06-02-2015 - 18:24





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh