Đến nội dung

Hình ảnh

Môđun hữu hạn sinh


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
kidkg

kidkg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
Mình đang tìm một ví dụ chứng tỏ môđun con của một môđun hữu hạn sinh chưa chắc là mô đun hữu hạn sinh. Thế nhưng nếu môđun X là Noether (mọi dây chuyền tăng các môđun con của X đều dừng) thì mọi môđun con của X đều hữu hạn sinh. Vậy ta phải tìm phản ví dụ trong các môđun không Noether. Mà vấn đề vành Noether và môđun Noether thì mình không rành lắm. Hình như các ví dụ tầm thường đều rơi vào trường hợp X Noether nên mình đang đau đầu đây. Các pác giúp với!

#2
yellowall

yellowall

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
vd1: lấy vành A=C[0,1], M là tập các hàm thuộc A triệt tiêu tại 0. Ta có A là modul trên chính nó nên hh sinh ; dễ thấy M là modul con của A nhưng M ko hh sinh.

Hoặc:

vd2:Lấy $A=K[x_1,x_2,..]$. M=<x_1,x_2,..> :angry: A cũng cho kq tương tự.

Hiện mình ko biết vd nào bớt tầm thường hơn vì ko biết nhiều vd về vành ko Noether, ai có thể cho mình một vài vd về vành ko Noether không?

#3
yellowall

yellowall

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
Em chưa đọc tới Artin, nhưng thấy có định lí nói vành Artin thì Noetherian?

#4
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
1 ví dụ khác (cũng hơi tầm thường) đó là $\mathbb{Q}/ \mathbb{Z}$ có thể xem như là Artin Modul trên $\mathbb{Z}$, nhưng không noetherian. Còn cái ví dụ thứ 2 của Yellowall thì vừa không noetherian lại vừa không artinian.

#5
vinhspiderman

vinhspiderman

    Tồ đại hiệp

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
Quà, lâu lắm rồi không lên diễn đàn!! Hôm nay rãnh vào chơi thì vừa đúng tròn 2 năm tham gian forum. Chà, bữa nay nhiều anh em học đại số giao hoán quá nhỉ! Thật là vui!!

Định lý mà bạn yellowal nói là đúng đấy:
Một vành giao hoán A là Artin khi và chỉ khi nó là Noetherian và có dimA=0.

Điều này chỉ đúng với vành mà không đúng với module vì chỉ có trong vành mới có phép toán nhân. Chẳng hạn ví dụ mà bạn Alexi Laiho nói về Q/Z.

Hai ví dụ mà yellowal đưa ra về module hữu hạn sinh có module con không hữu hạn sinh là rất kinh điển. Về module không Noetherian cũng như Artin, còn có một ví dụ kinh điển nữa là nhóm cộng
H={m/p^n|m in Z, n>=0}.
Lạy chúa!
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!

#6
kidkg

kidkg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
Chào các bác. Mình vô tình đọc được một bài tập nhỏ: "Trên vành chính, mọi môđun con của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh". Thế nhưng vành chính là vành Noether nên bài toán trở nên tầm thường nếu ta bắc cái cầu Noether. Nếu ta dỡ bỏ cái cầu này thì sao nhỉ?

#7
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết

Chào các bác. Mình vô tình đọc được một bài tập nhỏ: "Trên vành chính, mọi môđun con của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh". Thế nhưng vành chính là vành Noether nên bài toán trở nên tầm thường nếu ta bắc cái cầu Noether. Nếu ta dỡ bỏ cái cầu này thì sao nhỉ?


Module hữu hạn sinh trên vành Noether là module Noether nên module con và module thương của nó cũng hữu hạn sinh (mà mạnh hơn là cũng Noether).

Module trên PID (vành chính) có rất nhiều tính chất thú vị như, xạ ảnh ~ tự do, module con của module tự do cũng tự do,... nhưng không có khi tổng quát cho vành Noether.
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#8
kidkg

kidkg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
Cảm ơn pác nemo nhiều. Nhưng hình như pác chưa hiểu ý em cho lắm. Em đã nói là nếu "dỡ bỏ cái cầu Noether" mà. Liệu có một chứng minh thuần túy mà không phải viện đến tính chất Noether của vành hay môđun không nhỉ?

#9
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết

Cảm ơn pác nemo nhiều. Nhưng hình như pác chưa hiểu ý em cho lắm. Em đã nói là nếu "dỡ bỏ cái cầu Noether" mà. Liệu có một chứng minh thuần túy mà không phải viện đến tính chất Noether của vành hay môđun không nhỉ?


M là f.g module trên PID A, ta có M đẳng cấu với một module thương của một free module với cơ sở hữu hạn, ta viết M~$A^n/Q$. Một module con của M sẽ có dạng B/Q với B là module con của $A^n$. Chỉ cần CM B f.g là đủ, đến đây có nhiều cách và một trong đó là dùng kq rất đẹp về module con của free module trên PID cũng là free module, và như thế ta còn đánh giá được số lượng phần tử sinh của một module con so với số lượng phần tử sinh của M.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nemo: 24-07-2007 - 09:10

<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#10
Hai_anh

Hai_anh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Mình đang tìm một ví dụ chứng tỏ môđun con của một môđun hữu hạn sinh chưa chắc là mô đun hữu hạn sinh. Thế nhưng nếu môđun X là Noether (mọi dây chuyền tăng các môđun con của X đều dừng) thì mọi môđun con của X đều hữu hạn sinh. Vậy ta phải tìm phản ví dụ trong các môđun không Noether. Mà vấn đề vành Noether và môđun Noether thì mình không rành lắm. Hình như các ví dụ tầm thường đều rơi vào trường hợp X Noether nên mình đang đau đầu đây. Các pác giúp với!

Hi!
Làm ơn giúp mình chứng minh 1 bài toán nho nhỏ về tính chất đẳng cấu của môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán với! Mình cũng không biết là Mệnh đề này của mình là đúng không nữa, nhờ bạn xem giúp nhe!
Cho M và N là hai mođun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng đồng cấu từ M đến N là đẳng cấu khi và chỉ khi M và N có hai cơ sở cùng lực lượng.
Mình chứng minh được điều kiện đủ rồi nhưng chưa chứng minh được điều kiện cần. Nhờ mọi người cùng nghiên cứu nha!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh