Chủ đề này có 13 trả lời

[Evarister_Galois]

giả sử ta kí hiệu Z[1/2] cho tập các số nguyên tổ hợp với 1/2 , tức những số có dạng m/(2^n).Đây là 1 vành với luật + và x thông thường . Hãy liên tưởng tới lí thuyết mở rộng trường , có 1 đa thức triệt tiêu 1/2 mà bất khả qui trên Z đó là đa thức 2X - 1. Vậy Z[X]/<2X-1> là 1 trường . Xét ánh xạ giá trị v:Z[X] vào Z[1/2] cho mỗi hằng c có ảnh là c , mỗi đa thức p(X) có ảnh là p(1/2) . đây là 1 toàn cấu vành vì mỗi phần tử của Z[1/2] đều có thể biểu diễn như 1 đa thức của 1/2 . Do đó định lí đẳng cấu 1 cho vành cho ta Z[X]/ker(v) đẳng cấu với Z[1/2] . Ker(v) chính là Ideal <2X-1>do đó trường Z[X]/<2X-1> đẳng cấu với vành Z[1/2] ko là 1 trường !
Hay ko ? Sai lầm ở đâu

[lavieestunemerde]

Hai cái này đẳng với nhau là đúng rồi. Còn Z[X]/<2X-1> không phải là trường vì Z không phải là trường

Không chỉ cái này sai mà tên nick cũng sai nốt rồi .

[VO_DANH_KHACH]

mà tên nick cũng sai nốt rồi .

Câu này mới sai, tên nick lấy thế nào chẳng được ?

[Evarister_Galois]

Cần nói cụ thể hơn , Z ko là 1 trường thì dù 2X-1 bất khả qui thì <2X-1> ko là 1 Ideal cực đại
( Nick thế thì sao , nhiều tài liệu vẫn ghi là Evarister mà )

[nemo]

Cần nói cụ thể hơn , Z ko là 1 trường thì dù 2X-1 bất khả qui thì <2X-1> ko là 1 Ideal cực đại

Cũng không cụ thể hơn được gì. Z không là trường thì sao suy được <2X-1> không tối đại !? Ta có định lý K là trường -> K[X] là PID nhưng không có chiều ngược lại vì thế phải CM trực tiếp. (Nếu p nguyên tố thì <p,X> không principal)

[Evarister_Galois]

Xin lỗi mình chả hiểu nemo nói gì , tốt nhất nói rõ ra là nhanh nhất , đó là 2x-1 ko monic do đó phép chia Euclide ko thực hiên được như trong 1 trường , do đó đồng nhất Bezout ko hiệu lực tại đây , vì vậy ko phải mọi đa thức đều có nghịch đảo

[toanhoc]

Chiều ngược lại cũng đúng. R là vành giao hoán có 1 và R[x] là PID thì R là trường.

[lavieestunemerde]

Cần nói cụ thể hơn , Z ko là 1 trường thì dù 2X-1 bất khả qui thì <2X-1> ko là 1 Ideal cực đại
( Nick thế thì sao , nhiều tài liệu vẫn ghi là Evarister mà )

Tài liệu nào? Thử google "Evarister Galois" xem ra được bao nhiêu kết quả nào

[nemo]

Chiều ngược lại cũng đúng. R là vành giao hoán có 1 và R[x] là PID thì R là trường.

R[X]/<X> ~ R. Vậy nếu R là field thì <X> là maximal ideal of R[X], điều này đâu có đúng với một commutative ring bất kỳ !

Còn với bạn "Evarister Galois" gì đó, bạn hãy nói thử làm sao suy ra được R không là trường thì có <2X-1> không tối đại trong vành R[X] (!?).

Bạn định dựa vào một well-known theorem đó là K is field -> K[X] is PID (!?), tiếc là định lý này không có phần đảo (ít nhất là chưa nghe thấy bao giờ ??). Hy vọng mọi chuyện không phải thế.

[madness]

R[X]/<X> ~ R. Vậy nếu R là field thì <X> là maximal ideal of R[X], điều này đâu có đúng với một commutative ring bất kỳ !

Còn với bạn "Evarister Galois" gì đó, bạn hãy nói thử làm sao suy ra được R không là trường thì có <2X-1> không tối đại trong vành R[X] (!?).

Bạn định dựa vào một well-known theorem đó là K is field -> K[X] is PID (!?), tiếc là định lý này không có phần đảo (ít nhất là chưa nghe thấy bao giờ ??). Hy vọng mọi chuyện không phải thế.

Có định lý đảo. Đúng là "Nếu R là vành giao hoán có 1 và R[x] là PID thì R là trường."

[toanhoc]

CM không khó đâu. Chỉ là một bài tập trong Commutative Algebra thôi. Bạn giải thử đi, khoảng 1 trang là cùng thôi.
Tôi thích bài tập này vì nó chỉ ra cho tôi 1 điều thú vị. Nemo đi đúng hướng rồi đấy, bình thường <x> là maximal principal ideal, giờ nếu R[x] là PID thì nó là maximal ideal, vậy là xong thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc: 07-07-2007 - 01:29

[vinhspiderman]

Chứng minh điều ngược lại hoàn toàn dựa vào lập luận sơ cấp. Có thể chứng minh như sau.

Giả sử R không phải là một trường, khi đó vì R[X]/(X) đẳng cấu với R nên (X) không phải là ideal cực đại của R[X]. Giả sử M là ideal cực đại của R[X] chứa (X), khi đó M được sinh ra bởi một đa thức p nào đó, và ta có thể viết X=p.q. Suy ra deg(p)<=1.
Nếu deg(p)=1, p=aX+b, ta suy ra b=0 và a khả nghịch, suy ra M=(X), mâu thuẫn.
Nếu deg(p)<1 và p là hằng số, ta cũng suy ra p khả nghịch, và M=R, mâu thuẫn.

[toanhoc]

Bác Vinhspiderman Cm trong R[x] thì <x> là maximal principal ideal ( chính tối đại ?). Xin có 1 comment nhỏ ở đây. Key cho Cm này là hàm degree, là một grade function (hiểu trong bối cảnh lattice trong combinatorics), tức là ta (on some level) coi poly ring là một graded algebra ở đây. Cái này mở ra cho ta nhiều thứ thú vị trong commutative algebra.

[Alexi Laiho]

Theo tôi thì hiển nhiên luôn phải xem vành đa thức là đại số phân bậc, vì đây chính cách nhìn không gian xạ ảnh bằng viewpoint của lược đồ.