Please, help me to check the following inequality
$\|u\|_{H^2(I)}\leq \| \Delta u\|_{L^2(I)}, I \subset \mathbb{R}, I \neq \mathbb{R}.$
Thanks
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi study.maths: 20-06-2007 - 18:47
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi study.maths: 20-06-2007 - 18:47
Dear All,
Please, help me to check the following inequality
$\|u\|_{H^2(I)}\leq \| \Delta u\|_{L^2(I)}, I \subset \mathbb{R}, I \neq \mathbb{R}.$
Thanks
$I=[0;1], u(x)=x+1$
Very funny Sir hoc.toan
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoc.toan: 23-06-2007 - 13:58
It's not funny as you think. We can prove this.
We note that the problem shown by study.maths is not clear: which space u belongs to?
Applying the technique of the proof for Poincare's in equality, we surely deduce the result in the case of $u\in H^2_0(I)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoc.toan: 23-06-2007 - 13:30
thôi chả cần theo bdt nọ hay kia gì cả đâu, anh tính hộ cho $u(x)=x+1$ trên $[1/2;1] $ và bằng $0$ trên $I=[0;1]$
$|\Delta u|_{L^2(I)}=????$
$||u||_{H^2(I)}$
Sau đó anh tự rút ra kết luận.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wavelet: 24-06-2007 - 23:46
ọe u(x)=0 ngoài [1/2;1] lấy luôn I=[0;2] cho đỡ vặn vẹo, viết nhầm đoạn trên nhưng ai cũng hiểu. No comment!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CLtoan: 25-06-2007 - 00:55
Let $ I\subset \mathbb{R}, I\neq R$
From the fact $H^2_0=\overline{C_c^2}$, it follows that $u=\nabla u=0$ at $\partial I$.
Hence, we deduce that $\forall u\in H_0^2(I), \|u\|_{L^{\infty}(I)}\leq \mu(I)\|\triangle u\|_{L^1(I)},\|\nabla \|_{L^{\infty}(I)}\leq \|\triangle u\|_{L^1(I)}$.
By Holder’s inequality, we obtain that
$\|u\|_{L^2(I)}, \| \nabla u\|_{L^2(I)}\leq C(\mu(I))\|\triangle u\|_{L^2(I)}$.
In $ H^2$, by using the norm $\|u\|_{H^2}=C_0\big(\|u\|_{L^2}+\|\nabla u\|_{L^2}+\|\triangle u\|_{L^2}\big),$
we deduce that $\|u\|_{H^{2}}\leq \|\triangle u\|_{L^2}, \forall u\in H^{2}_0.\Box$
If necessary, one can specify the constant $C_0$ which only depends on $\mu(I)$ (in this case).
An open problem: Consider the above inequality when $I\subset R^2$?
Why do I type "norm\ |. \ |" but the result is "absolution |.|"?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CLtoan: 25-06-2007 - 01:05
Chú ý: Cái này sai nếu I is unbounded!!!
Trả lời "open problem" của ngài hoc.toan: BDT đúng cho mọi tập $I\subset R^n$, với mọi n, không chỉ n=1 hay 2, với I chứa trong một strip bị chặn. (giả thiết sau quan trọng)
Ví dụ cho tập không bị chặn, hoặc không thuộc strip bị chặn? Hint: chọn $ I = (0,\infty)$, think of cut-off function =1 in (1,n) and =0 out side $(n+1,\infty) $ and at x=0.
have fun!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi study.maths: 25-06-2007 - 12:19
Chú ý: Cái này sai nếu I is unbounded!!!
Trả lời "open problem" của ngài hoc.toan: BDT đúng cho mọi tập $I\subset R^n$, với mọi n, không chỉ n=1 hay 2, với I chứa trong một strip bị chặn. (giả thiết sau quan trọng)
Ví dụ cho tập không bị chặn, hoặc không thuộc strip bị chặn? Hint: chọn $ I = (0,\infty)$, think of cut-off function =1 in (1,n) and =0 out side $(n+1,\infty) $ and at x=0.
have fun!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoc.toan: 25-06-2007 - 13:05
Dung la $I$ bounded. Tuy nhien truong hop $n\geq 2$ phai can than bac a. Noi that la minh chua lam duoc. Bac CLtoan vui long chung minh truong hop so chieu tong quat dum nhe. Thanks.
applying standard Poincare's inequality for $\nabla u$ (chứng minh của BDT này rất đơn giản: viết w(x) = w(x) - w(y) = ??? bởi Fundamental Theorem of Calculus, với x trong I và y trên biên).
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh