Chủ đề này có 6 trả lời

[Ham_Toan]

Mong các bạn giúp mình giải bài toán sau:
Cho Nhóm G, S là tập con thật sự của G.
Đặt http://dientuvietnam...metex.cgi?C_G(S)={x G sao cho xs=sx s S}
http://dientuvietnam...metex.cgi?N_G(S)={x G sao cho http://dientuvietnam...imetex.cgi?x=S}
Cho G là nhóm hữu hạn sao cho: http://dientuvietnam...metex.cgi?N_G(A)=C_G(A) A là nhóm con của G
CMR: G giao hoán


Câu hỏi mở: Với G là nhóm vô hạn thì kết quả có còn đúng ko ?

[Ham_Toan]

Các bạn ơi, sao ko ai giúp mình bài này vậy ? Mong nhận được sự chỉ giáo của các bạn

[canh_dieu]

Một bài tập (7, (b), tr. 113) trong quyển Lý thuyết nhóm của Suzuki nói rằng:

Nếu tất cả các nhóm con cực đại của một nhóm hữu hạn là abel thì ít nhất một trong chúng là chuẩn tắc.

Có thể dùng nó để giải quyết bài của bạn như sau. Giả thiết nói rằng nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x giao hoán với mọi phần tử trong http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?A. Từ đó dễ thấy mọi nhóm con thực sự của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G đều là abel.

Theo bài tập trên thì có một nhóm con cực đại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H, abel, và chuẩn tắc trong http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?G. Lấy http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x là một phần tử bất kỳ không thuộc http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H. Do http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H chuẩn tắc nên theo giả thiết http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x giao hoán với mọi phần tử trong http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H. Mặt khác, nhóm con sinh bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H lớn hơn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H, nên bắt buộc phải bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G. Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H là abel và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x giao hoán với mọi phần tử của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G là abel.

Tuy vậy, chứng minh bài tập trên không dễ lắm. Ai có lời giải nào khác đơn giản thì post lên hộ cái .

[Mr Stoke]

Mình không thạo lắm món này nhưng thấy bài cứ kì kì thế nào í. Cho $A=G$ và chú ý rằng mọi nhóm tâm đều giao hoán ==> chẳng còn gì để chứng minh.

[canh_dieu]

Cho $A=G$ và chú ý rằng mọi nhóm tâm đều giao hoán ==> chẳng còn gì để chứng minh.

Định nghĩa của http://dientuvietnam...metex.cgi?N_G(S) và http://dientuvietnam...metex.cgi?C_G(S) mà Ham_Toan đưa ra có hạn chế http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là tập con thực sự của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?G. Do vậy trong bài toán này http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A được ngầm hiểu là nhóm con thực sự.

Nhân tiện nhắn Mr Stoke: Để dùng được Tex bạn gõ công thức trước rồi bôi đen và nhấp vào lựa chọn Tex ở trên, chứ không dùng ký hiệu $. Các bác Admin không thích tiền

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canh_dieu: 25-04-2005 - 10:40

[Ham_Toan]

Một bài tập (7, (b), tr. 113) trong quyển Lý thuyết nhóm của Suzuki nói rằng:

Nếu tất cả các nhóm con cực đại của một nhóm hữu hạn là abel thì ít nhất một trong chúng là chuẩn tắc.

Bài tập trên mình phải giải như thế nào ? Phải dùng đến công cụ j ? bạn nói đi, rồi mình sẽ cố gắng giải cho !

[canh_dieu]

Ý tưởng của chứng minh bài tập trên (trong sách của Suzuki) là dùng quy nạp. Nếu ta chỉ ra được nhóm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?N, thì ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho nhóm thương http://dientuvietnam...imetex.cgi?G/N.

Vấn đề là ở chỗ chứng minh sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc này. Trong sách có hướng dẫn chứng minh bằng phản chứng. Giả sử nhóm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G là nhóm đơn, không abel và có tất cả các nhóm con cực đại đều abel. Khi đó sẽ tìm ra được mâu thuẫn với câu c) một bài tập trước đó như sau:

Bài tập. Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G là một nhóm hữu hạn, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H là một nhóm con có tính chất

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K là một nhóm cũng có tính chất giống như http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H, thì tồn tại sao cho
d)...........................

(Câu b) và d) không quan trọng).

Việc chứng minh bài tập này có thể nhìn thấy được, tuy nhiên suy ra được mối liên hệ với của nó với bài toán ta đang quan tâm thì tớ chưa nhìn ra.

Mọi người cùng nghĩ xem sao.