Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số nguyên n nhỏ nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
LvanhTuan

LvanhTuan

    Admin

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
Tìm số nguyên $n (n \geq 3 )$ thỏa mãn với mọi n điểm trên mặt phẳng không có 3 điểm nào thẳng hàng thì tồn tại 3 điểm mà tọa thành 1 tam giác không cân :D
Chuyên toán Hà Tĩnh

#2
lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
$n=7$

Với $n=6$ thì ta lấy $6$ điểm gồm $5$ đỉnh của một ngũ giác đều và tâm của ngũ giác đó.

Ta chứng minh với $n=7.$

Trước hết ta chứng minh rằng nếu có n điểm ko thẳng hàng mà $3$ điểm bất kì tạo thành tam giác cân thì $n\le 6.$

Chứng minh:

Trước hết ta có nhận xét là nếu trong $n$ điểm đó có $1$ tam giác đều thì $n\le 5$, do vậy ta chỉ cần chứng minh với trường hợp ko có tam giác đều nào.

1. Ta có không quá một điểm mà cách đều tất cả các điểm còn lại, nếu có thì gọi là $O$

2. Giả sử $A$ là một điểm khác $O$. Khi đó ta chứng minh rằng với mỗi $d$ thì có ko quá $2$ điểm có khoảng cách $d$ so với $A$. Giả sử ngược lại là tồn tại $3$ điểm $B, C, D$ mà $AB=AC=AD=d$, do tồn tại $E$ khác $A$ mà $AE\neq d$. Theo giả thiết thì các tam giác $AEB, AEC, AED$ đều cân, nhưng do $AE\neq d=AB,AC,AD$ nên ta phải có $EA=EB,EA=EC,EA=ED$. hay $E$ là giao của $3$ đường trung trực của các đoạn $AB,AC,AD$, vô lí.

Tiếp theo ta tính số góc mà có 2 cạnh bằng nhau: ta có theo 1 và 2 thì số góc không quá ${n-1\choose 2} +(n-1).\dfrac{n-2}{2}=(n-1)(n-2) $. Mặt khác ta có số tam giác là $n\choose 3$ và đều cân nên ta có :

${n\choose 3}\le (n-1)(n-2)$, suy ra $n\le 6$.

#3
HUYVAN

HUYVAN

    CTCVAK08

  • Hiệp sỹ
  • 1126 Bài viết

Tìm số nguyên $n (n \geq 3 )$ thỏa mãn với mọi n điểm trên mặt phẳng không có 3 điểm nào thẳng hàng thì tồn tại 3 điểm mà tọa thành 1 tam giác không cân :(

Có lẽ bài này được cải biên từ bài toán sau
(Erdos - Szekeres 1935): Cho số nguyên dương $m\geq 3$. Cm: tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho với tập bất kì gồm $n$ điểm trên mặt phẳng ( không có 3 điểm nào thằng hàng) thì có chứa $m$ điểm là đỉnh của đa giác lồi gồm $m$ góc




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh