Chủ đề này có 5 trả lời

[LvanhTuan]

Problem

Cho$ n$ điểm trên mặt phẳng và $ k$ số các khoảng cách phân biệt giữa các điểm
Cmr : $\dfrac{1}{2}n \leq k \leq \dfrac{n(n-1)}{2}$ luôn tồn tại n điêm mà có số khoảng cách phân biệt là k
@ :Xin lỗi mình kô để ý đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LvanhTuan: 12-07-2007 - 08:56

[lehoan]

Đề bài đúng phải là các đỉnh của một đa giác lồi và $[\dfrac{n}{2}]\le k\le \dfrac{n(n-1)}{2}$. Đây là bài toán do Erdos đặt ra năm 1946 và được giải quyết bởi E. Altman năm 1963. (theo search trên Google )
ngoài ra có một kết quả khác là:

Cho $P$ tập hợp gồm $n$ đỉnh trên mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại đỉnh $p\in P$ mà trong $n-1$ đoạn thẳng xuất phát từ $p$ có ít nhất là $[\dfrac{n}{3}]$ đoạn thẳng có độ dài đôi một khác nhau.


Có một bài nữa nhưng dễ : Chứng minh rằng với mọi $n-1\le k\le \dfrac{n(n-1)}{2}$. Tồn tại $n$ điểm trên một đường thẳng sao cho có đúng $k$ khoảng cách khác nhau trong $n$ điểm đó.

[tanlsth]

Xét trường hợp $ [\dfrac{n}{2}] \leq k \leq n-2 $ ta chọn $ n $ đỉnh liên tiếp của một đa giác lồi $ 2k+1 $ cạnh
Nếu $ n-1 \leq k \leq \dfrac{n(n-1)}{2} $ thì tồn tại duy nhất $ m $ sao cho $ \dfrac{n(n-1)}{2}-\dfrac{(m-1)(m-2)}{2} \geq k \geq \dfrac{n(n-1)}{2}-\dfrac{m(m-1)}{2} $
Xét các điểm $ 1,2,..,m,m+p $ với $ p=\dfrac{n(n-1)}{2}- \dfrac{m(m-1)}{2}+1 $
Còn lại $ n-m-1 $ điểm còn lại ta lấy sao cho không có khoảng cách nào bị lặp lại
Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 13-07-2007 - 19:11

[tanlsth]

Có một kết quả như sau
Chứng minh hoặc phủ định với mọi $ \varepsilon >0 $ thì đều tồn tại $ n(\varepsilon) \in N^* $ sao cho với mọi $ n>n(\varepsilon) $ và với mọi $k \in N^* : \varepsilon.n <k \leq \dfrac{n(n-1)}{2} $ đều tồn tại $ n $ điểm phân biệt trong mặt phẳng mà có đúng $ k $ khoảng cách phân biệt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 13-07-2007 - 19:17

[lehoan]

Anh nghĩ bài đầu tiên em hiểu chưa rõ đề rồi:

Đề hỏi là trong $n$ điểm là các đỉnh của n-giác lồi thì số các đoạn thẳng có độ dài đôi một khác nhau không bé hớn $[n/2]$

[tanlsth]

Cái bài em giải quyết là bài mà anh nêu ra thứ 2 ấy (bài mà anh bảo dễ) còn cái bài đa giác đầu tiên của anh thì chưa