Chủ đề này có 2 trả lời

[toilachinhtoi]

Trong topic này tôi sẽ trình bày những điểm cốt yếu trong lời giải của một áp dụng thú vị của Mountain-Pass Theorem trong hình học: Định lý Lyusternick-Fet. Chi tiết xem trong Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, định lý 6.11.4.

Định lý: Mọi đa tạp Riemann compact có một geodesic đóng không tầm thường (nghĩa là không phải hằng số).

Lời giải sử dụng kết quả sau:

Bổ đề: Nếu M là một đa tạp compact số chiều n thì tồn tại $1\leq i\leq n$ sao cho $\pi _i(M)\not= 0$.

Lời giải của bổ đề: Giả sử trái lại là $\pi _i(M)=0$ với mọi $1\leq i\leq n$. Dùng một component của M ta có thể giả sử rằng $\pi _0(M)=0$. Khi đó bởi obstruction theory, có một hàm liên tục $h:S^{n+1}->M$ cảm sinh một isomorphism trên homotopy groups $\pi _*$ với $0\leq *\leq n$. Khi đó áp dụng định lý Whitehead, h cảm sinh một surjection trên homology group $H_n$, nhưng đây là điều vô lý.

Lời giải của định lý sẽ được tiếp tục post sau.

[Alexi Laiho]

hm phát biểu của bổ đề trên khá tầm thường. Định lý mà TLCT có thể chứng minh trực tiếp không thông qua định lý qua núi, tất nhiên tôi rất háo hức chờ xem ứng dụng của định lý qua núi vào việc chứng minh định lý nói trên như thế nào.

[toilachinhtoi]

Lời giải của định lý:

Trước tiên chọn i như trong bổ đề và lấy $h:S^i\rightarrow M$ không phải hằng số.

Nếu i=1 thì đây là hệ quả của định lý về tồn tại một geodesic trong mỗi homotopic class.

Xét trường hợp i>1.

Lấy $D^{i-1}$ một equator của $S^i$.

Với mỗi điểm $p\in D^{i-1}$ ta định nghĩa $c_p(t)$ circle trong $S^i$ mà xuất phát từ p và vuông góc với $D^{i-1}$ Bất kì điểm $q\in S^i$ là thuộc về một circle $c_p(t)$ như thế. NẾu $p\in \partial D^{i-1}$ ta định nghĩa $c_p(t)=p$ với mọi t.

Định nghĩa $H:D^{i-1}\rightarrow F$ ở đây F là tập hợp các đường cong trơn trên $ S^i$ bởi
$H_p(t)=h\circ c_p(t)$

Lời giải sẽ được tiếp tục post sau.