Đến nội dung

Hình ảnh

Intersection theory

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#1
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Vì biết rằng trên diễn đàn có nhiều bạn làm về đại số nên tôi mạo muội mở topic này, mong được trao đổi.

(Trích dẫn từ một nguồn) Fulton từng nói rằng trong intersection theory thì chúng ta có thể đề xuất bất kì định lý nào, vấn đề chỉ là chứng minh rằng những tính toán của bạn là chính xác. Ví dụ tại sao bội số (multiplicty) là 3 chứ không phải 5.

Như vậy intersection theory mặc dù có nguồn gốc rất trực quan nhưng lại cực kì rắc rối và tinh tế. Xin cử một ví dụ đơn giản:

Trước đây bạn quantum-... có đưa lên diễn đàn câu hỏi tại sao intersection theory của excptional divisor E của blowup tại một điểm của P^2 là -1. Một giáo sư cùng từng hỏi tôi câu này và tôi có trả lời rằng vì $E.E=E|_E=-1$, nhưng ông có vẻ không thỏa mãn lắm. Ông có chỉ ra một cách của Camacho, nhiễu E trong một lân cận của E bởi một đường cong E', không là đường cong giải tích phức, và E.E'=-1. Ông cũng giải thích rằng vì tồn tại một lân cận của E sao cho trong lân cận đó E là đường cong phức compact duy nhất, và đây là một cách giải thích khác cho việc tại sao E.E có thể bằng -1, trong khi ta biết rằng giao của hai đa tạp compact phức trơn là không âm. Một giáo sư khác nói rằng việc E.E=-1 khiến cho chính ông phải thắc mắc.

Trong topic này tôi sẽ cố gằng trình bày nội dung cuốn sách mỏng Introduction to intersection theory của Fulton, cố gắng làm nhiều ví dụ cụ thể, và nếu có thể được thì trình bày về Intersection (co)homology. Mong mọi người hưởng ứng bằng cách viết bài hoặc đưa bài toán cụ thể để tính toán, hoặc giải các bài tập. Cảm ơn nhiều.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#2
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Topic này hay đấy, tôi xin ủng hộ hết mình, nhưng xin phép kính lão đắc thọ mời anh TLCT khai trường bài mở đầu trước.

Có 1 cách giải thích khác (nhưng hoàn toàn tương đương với cách mà giáo sư của anh TLCT nói) cho việc tại sao số self-intersection number của E bằng -1, đó là khi xét chẳng hạn tác động của nhóm các tự đẳng cấu, vậy thì exeptional curve E sẽ bị fixed, that means $E^{Aut(X)} = E$.

Còn tôi cũng đã thử nhiều lần cố gắng tưởng tượng geometrical, nhưng nói chung kết luận lại là không nên, vì nó chỉ làm cho mình bối rối hơn.

#3
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Tôi xin gợi ý thân chương trình thế này, ông anh TLCT trình bầy theo cuốn của Fulton, còn tôi cố gắng đưa nó theo ngôn ngữ hiện đại của motivic cohomology. Ai đó có thể trình bầy tiếp theo nội dung của SGA 6 có được không nhỉ? Như vậy chúng ta có thể làm 1 đường Intersection theory-SGA6-Motive. Hy vọng cái topic này nó không chết yểu như mọi topic khác. Nếu được thì nhờ KK kéo cả sang phần đối đồng điều lượng tử (theo work của Kontsevich) nữa cho nó đủ bộ.

#4
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
ĐÚng đấy, quantum cohomology theo một nghĩa nào đấy có thể coi là intersection theory trên moduli space. Em cũng mới học một chút, góp vui cũng hay mong ông anh chỉ giáo. Ông anh bắt đầu đi.
PhDvn.org

#5
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Cảm ơn vì sự ủng hộ. Hi vọng rằng topic này sống được và qua đó sẽ được học được nhiều điều, từ nhiều quan điểm.

Bắt đầu bằng chương 1 của Fulton. Chương này thí chỉ là nhắc lại kết quả cổ điển và lịch sử nên cũng chưa phải nhíu mày nhăn trán nhiều.:-? Ghi tên sách ra đây cho mọi người tiện tham khảo: W Fulton, Introduction to intersection theory in AG, 1983.

Chương 1: Intersection of Hypersurfaces

Không biết ai là người đầu tiên nhận xét rằng 2 đường cong bậc p và q cắt nhau tại pq điểm (tính bội số tại mỗi điểm giao).

Newton (1680): phát triển elimination theory cho sự cắt nhau của hai phương trình đa thức trong 2 biến, định nghĩa resultant.

Bezout: tổng quát kết quả cho n phương trình của n biến. Xét n hypersurfaces $H_1,...,H_n$

Intersection multiplicity: Chúng ta gán cho mỗi điểm giao P một bội số $i(P,H_1...H_n)$

Khi đó định lý Bezout là như sau: Trong trường hợp generic case, tổng các bội số của các điểm giao bằng tích của bậc của $H_1,...,H_n$. Ta kí hiệu số này bởi $H_1.H_2...H_n.$ Ở đây nhắc lại là bậc của một hypersurface $H={f=0}$ với f một đa thức thuần nhất là bằng bậc của đa thức f.

Có hai ý tưởng chính trong định lý này:

1. Generic case: chúng ta xét n hypersurfaces $H_1,...,H_n$ ở vị trí tống quát. Minh họa cho ý này có thể xét trường hợp n hyperplane trong trườn hợp tổng quát sẽ cắt nhau tại một điểm.

2. Nguyên lý biến đổi liên tục: Nếu $H_i(t)$ là một họ biến liên tục với $H_i(0)=H_i$ thì
$i(P,H_1...H_n)=\sum _{j=1}^ri(P_j(t),H_1(t)...H_n(t))$
ở đây $P_j(t)$ là những điểm giao của $H_1(t),...H_n(t)$ mà được chứa trong một lân cận đủ nhỏ của điểm P. Để minh họa cho ý này có thể lấy ví dụ làm cách nào tính bậc topo của một điểm critical của một hàm số f: Ta nhiễu hàm số f một ít rồi tính bậc topo của hàm nhiễu trong 1 lân cận của điểm critical đó.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#6
Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết
Anh có thể nói rõ hơn bằng một ví dụ cụ thể về việc nhiễu rồi tính bậc topo ko?
Thân lừa ưa cử tạ ! :)

#7
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
ví dụ, thay x^2=0 bằng x^2=epsilon
PhDvn.org

#8
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
Có ai có cuốn intersection theory của Fulton không nhỉ?
PhDvn.org

#9
Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết

ví dụ, thay x^2=0 bằng x^2=epsilon

Em biết là nhiễu thế này rồi thế nhưng tính bậc topo trong lân cận điểm critical như thế nào ? Cái gì quy định số bậc này ?
Thân lừa ưa cử tạ ! :)

#10
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

Có ai có cuốn intersection theory của Fulton không nhỉ?

Có.
1728

#11
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
@do: nếu chỉ xét những hàm với điểm critical không kì dị thì ta có lý thuyết Morse. Tính bậc tại một điểm không kì dị thì chỉ cần tính dấu của det f'. Chẳng hạn cho $f(x)=x^2-a$ với $a>0$ nhỏ thì ta có hai nghiệm, một nghiệm âm và một nghiệm dương=>deg=0. (Lưu ý: tính bậc trong trường số phức thì ta luôn được số dương).

Sau đó Plucker định nghĩa class của một đường cong C trong P^2, con số tiếp tuyến qua C của một điểm generic trong P^2. Bây giờ sử sụng định nghĩa đường cong đối ngẫu của C, ta thấy class của C băng bậc của đường đối ngẫu.

Sau đó Salmon định nghĩa bậc của một mặt cong đối ngẫu của một mặt trong P^3.

Excess intersection: một vấn đề gặp phải là sự tính quá số giao điểm. Một bài toán nổi tiếng là tính con số của các đường conics (bậc 2) trong P^2 mà tiếp xúc với 5 conics cho trước ở vị trí tổng quát. Tôi sẽ giải thích ví dụ này trong bài post tiếp theo. Câu trả lời sẽ được cho sau khi chúng ta đã phát triển lý thuyết tính toán (dùng Chern classes).
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#12
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Bây giờ chúng ta trình bày về ví dụ của 5 conic: Một conic được định nghĩa bởi phương trình $ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$ với 6 hệ số (a,b,c,d,e,f) và hai conic với hệ số tỉ lệ với nhau là trùng nhau. Như vậy không gian các conic có thể đồng nhất với $P^5.$ Bây giờ cố định một conic $ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$. Tập hợp các conic $a'x^2+b'y^2+c'xy+d'x+e'y+f'=0$ được cho bởi (xem http://en.wikipedia....cs_intersection , có thể thử dùng phương pháp determinant của Newton ở đây? Nếu bạn nào có thể bắt tay vào tính toán cụ thể phương trình này thi rất cảm ơn. Có thể làm như sau: Hai conic tổng quát cắt nhau ở 4 điểm dùng định lý Bezout cho P^2 hay C^2, do đó 2 conic tiếp xúc nhau thì phải hoặc là có hai điểm giao bội 2 hoặc một điểm giao bội 4. Ta chỉ cần tính trong một tập trù mật do đó chỉ cần xem xét trường hợp có 2 điểm giao bội 2 và viết ra điều kiện của a',b',...,f') một phương trình có bậc 6 của $a',b',c',d',e',f'$, do đó là một hypersurface H với degree 6.

Như vậy tập hợp các conic tiếp xúc với 5 conic cho trước ở vị trí tổng quát là bằng tập hợp các điểm giao của $H_1\cap H_2\cap H_3\cap H_4\cap H_5$ với $H_i$ có bậc 6.

Nếu $H_1,...,H_5$ là ở vị trí tổng quát thì số giao điểm sẽ là $6^5$ bởi định lý Bezout. Nhưng con số thực sự là nhỏ hơn vì $H_1\cap H_2\cap H_3\cap H_4\cap H_5$ chứa một tập Veronese $V\sim P^2$ (về Veronese surface xem trong Griffiths-Harris trang 178), và tập Veronese V này tương ứng với tập những conic thoái hóa mà là hội của 2 đường thẳng, do đó không được tính là conic. Do đó muốn tính con số thực sự của các conic ta phải trừ ra đóng góp của V trong phần giao này.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#13
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Thành thật mà nói từ đầu tới giờ xem topic xin góp ý với anh TLCT vài điểm sau:

1) Anh nên bắt đầu trực tiếp vào Intersection theory luôn đi, chẳng hạn như bắt đầu từ hệ Axioms để cho mọi người có 1 overview thế nào là Intersection theory. Phần ví dụ cổ điển và lịch sử thì anh nên xóa béng nó đi cho rảnh nợ.

2) Phần Chern classes anh có thể tiết kiệm bằng cách trích dẫn Grothendieck, khỏi cần phát triển xây dựng Chern classes theo kiểu dùng connection, tốt nhất dùng luôn Axioms.

3) Sau đó đề nghị anh TLCT làm rõ các tương đương, ví dụ tương đương hữu tĩ, tương đương đại số, tương đương đồng điều, tương đương số. Đưa ra khái niệm nhóm Chow. Sau đó em sẽ thiết lập nhóm Chow higher bằng viewpoint của motivic cohomology

#14
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
Đây anh TLCT ạ, đây là một số ví dụ về cách viết bài mà không chép sách. Bọn NCS chỗ em bây giờ nó đang đua đòi tập viết blog. Kể cả mấy ông giáo sư cũng đang đua đòi, và có cả hai lão giải Fields cũng mê blog là Tao và Bocherd.
Đầu tiên là của bọn mấy thằng SV bên này, chưa đứa nào bảo vệ, cũng thuộc dạng khá, anh xem cách chúng nó chưởng nhau anh ạ.
http://sbseminar.wordpress.com/

http://noncommutativ...el/quantization
http://borcherds.wordpress.com/
http://terrytao.wordpress.com/

Nhìn cách viết blog của nó mà học anh ạ. Nó không viết kiểu anh đâu. Mai em upload cuốn của Fulton lên đây, rồi mỗi lần post bài anh chỉ cần: ĐỊnh lý 1.2.3, dòng thứ 3-12 thế là xong.
PhDvn.org

#15
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
@KK: Điều thứ nhất là như tôi đã nói từ đầu là tôi sẽ cố gắng trình bày nội dung cuốn sách Introduction to Intersection theory của Fulton in năm 1984. Cuốn này thì ngắn, cô đọng, và không có nhiều chứng minh nên đọc dễ hiểu bản chất vấn đề và có thể luyện tập suy nghĩ. Chắc cậu đang dùng cuốn Intersection Theory, cuốn này chắc là khác cuốn tôi đang dùng.

Mà tôi cũng chẳng chép nguyên xi như cuốn của Fulton lên đây, mà có trình bày lại và giải thích thêm chi tiết.

Mà ví dụ về excess intersection theory tôi nghĩ là đủ hứng thú để suy nghĩ. Theo lịch sử thì các nhà toán học như Steiner...đã tính sai đáp số ở đây.

Tôi thích cách trình bày của Fulton trong cuốn này nên tôi cố gắng theo sát cách trình bày đó.

Việc viết bài trên diễn đàn hiển nhiên là khác với việc viết trên blog và hiển nhiên là càng khác với việc một bài báo để đăng trên tạp chí chuyên ngành.

Cậu muốn đóng góp gì về quantum cohomology thì cứ viết lên đây, không sợ không có người nào hiểu được.:namtay
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#16
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Cái mà anh TLCT định trình bầy có thể tạm coi là enumerative geometry, dù sao cũng related to quantum cohomology. Nhưng theo em thì vẫn cứ nên bắt đầu bằng axioms vậy người đọc topic có cái nhìn tổng quát hơn là những ví dụ lắt nhắt, cho dù ví dụ đó có hay ho thế nào đi chăng nữa thì em nghĩ nó cũng chả có hữu ích gì lắm trong hình học đại số hiện đại. Chi bằng anh TLCT giới thiệu cho mọi người ở đây ví dụ như cách tính Crystalline-, Deligne-cohomology hoặc thậm chí algebraic De-Rham cohomology có khi còn hay hơn. Bởi vì kiểu gì thì anh TLCT cũng sẽ phải giới thiệu nhóm Chow, bằng viewpoint của motive thì nó không khác gì motivic cohomology, mà cụ thể là Zariski hypercohomology của K-bó. Hoặc anh có thể giới thiệu cho mọi người phép giải Deligne có được ko? Rồi kéo cái Chow motive sang K-lý thuyết đại số chẳng hạn. Vì dù sao đây cũng là box hình học topo cho toán chuyên ngành, chí ai cũng xong hết toán cơ bản rồi, anh giới thiệu Intersection theory kiểu như trên thì sẽ chẳng có ai cám ơn anh cả, mà sẽ chỉ thầm nghĩ: "Chán cái ông TLCT, ông ý định chép sách giảng bài cho sinh viên à?". Theo em ví dụ như cuốn SGA 6 là 1 cuốn khó, anh có thể mang nguyên cái đó lên đây thảo luận, đảm bảo mọi người sẽ hào hứng ngay. Cũng có thể cuốn Introduction to Intersection theory của Fulton có nhiều ví dụ khó và hay, nhưng nếu nó ko liên quan tới mục đích nghiên cứu của mọi người thì em nghĩ chả ai tham gia đâu. Vài lời thế, không phải em chỉ trích anh TLCT, chỉ là góp ý để topic được thêm phần hấp dẫn, chứ diễn đàn đã có quá nhiều topic lắt nhắt chết yểu rồi.

#17
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
@AL: Mục đích của topic này thì tôi đã nói từ đầu rồi, nên tôi sẽ theo nó. Nếu cậu thích trình bày ủng hộ gì đó như cậu đã viết thì cứ post lên đây.

Nếu cậu thực sự đã hiểu được rõ ràng mọi kiến thức trong cuốn Introduction...của Fulton thì xin thành thực khen cậu là giỏi. Tôi thì vẫn còn nhiều điều chưa hiểu trong cuốn sách đó, và tôi cũng thấy Intersection theory là cực kì khó, vì vị giáo sư mà tôi đã trích dẫn là thắc mắc về việc E.E=-1 là một người rất có trình độ trong Algebra Topology, có một số công trình về spectral sequence, vừa mới chứng minh một kết quả trong K-theory sẽ được đăng trên Inventionmaths.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#18
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Anh TLCT kính mến: hôm nay đọc bài viết em mới thấy anh có nhã ý khen em, em xin chân thành cảm ơn anh. Tuy nhiên nhận được lời khen của anh, em cũng chẳng lấy gì làm sung sướng, vì thầy đã dậy bọn em cả 2 cuốn của Fulton trong 2 học kỳ rồi.

Nhân đây em xin hầu anh 1 câu chuyện. Em có thằng bạn làm Postdoc ở chỗ Fulton, chuyên ngành của nó vốn là quantum cohomology, nhưng mà đường lớn chính thống thì không chịu đi, cứ toàn đi học các ví dụ lắt nhắt về tổ hợp, nên giờ đã rẽ nhánh sang ngành computer software đi làm ngoài hãng rồi. Vậy nên em nghĩ, anh nên quên béng mấy cái ví dụ ở trên đi, tập trung giải thích các tiên đề cũng nhưng ý nghĩa hình học behind các tiên đề của intersection theory thì tốt hơn. Ví dụ anh cho vài ví dụ tính multiplicity thông qua $Tor(A/I,A/J)$ chẳng hạn, như vậy anh khỏi phải bận tâm với mấy cái polynomials loằng ngoằng ở trên kia.

#19
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
@AL: Cách tính toán thông qua Tor của Serre tôi nghĩ là rất bổ ích, có điều không được trực giác bằng cách của Fulton thông qua Chern class. Hơn nữa cách này sẽ được trình bày sau này trong cuốn sách của Fulton.

Một link gảii thích kĩ cuốn sách của Fulton

http://math.stanford.edu/~vakil/245/

Một link khác mà có thể dùng chung với cuốn sách Lectures on K-functor in AG của Manin

http://www.math.uic....ow_Groups-6.pdf

Cuốn sách gốc của Serre là Algebre Locale Multiplicites.

Chúng ta giải thích ý tưởng làm thế nào tính toán ví dụ về intersection theory: Con số thực sự của giao điểm của H1,...,H5 mà chúng ta nói sẽ bằng hiệu của $6^5$ cho số giao điểm mà V đóng góp. Để tính số giao điểm mà V đóng góp ta blopwup $P^5$ dọc theo V, Sau khi blowup một cách thích hợp thì restrict transforms của H1,...,H5 sẽ không còn có phần giao với dim >0. Do đó ta có thể tính ra đáp số.

Bài post tiếp theo sẽ bắt đầu chương 2 trong Fulton.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#20
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Anh TLCT kính mến: Rất cảm ơn anh về các links mà anh đã đưa ra, rất thú vị, đặc biệt là link thứ 2: Lecture on K-functor in AG by Manin. Sau đây em xin phép được post 1 bài Introduction và motivation mang tính phylosoph cho intersection theory (modulo detail).

Như anh TLCT đã trình bầy ở trên về Bezout theorem trong projective geometry 1 định lý quan trọng trong enumerative geometry. Có thể nói nguyên tắc cơ bản để phát biểu 1 cách hiện đại vấn đề này chính là các tương đương của các chu trình đại số (algebraic cycles). Bên cạnh các old problems như Schubert calculus trên Grassmannian hay Flag manifolds trong hình học đại số cổ điển còn có 1 vấn đề khác về giải nghiệm của 1 hệ các pt đa thức trong 1 trường hữu hạn với các tên tuổi như Gauss, Artin, Schmidt, Hasse, Weil... Chẳng hạn biểu diễn quen thuộc của hàm zeta thông qua số điểm của 1 đa tạp đại số over $\mathbb{F}_q$. Bằng ngôn ngữ của Grothendieck thì vấn đề đếm (enumerative problems) có thể xét thông qua phạm trù đếm của các đa tạp xạ ảnh trên 1 trường số k, say các morphisms là {các chu trình đại số với hệ số hữu tỉ của đối chiều dim X trên XxY}/~num, với ~num là tương đương numeric, và objects là đa tạp xạ ảnh.

Ta hãy giải thích đôi chút về vấn đề tương đương đồng điều ~hom, 2 chu trình đại số được gọi là tương đương đồng điều nếu có 1 lý thuyết đối đồng điều Weil (Weil cohomology theory), sao cho các lớp cơ bản của chúng sai khác bằng 0. Xét ví dụ cơ bản trong hình học đếm (enumerative geometry) như anh TLCT đã nêu ra ở trên, namely định lý Bezout. Chúng ta có $H^2(\mathbb{P}^2,\mathbb{Q}) = H^4(\mathbb{P},\mathbb{Q}) = \mathbb{Q}$ tích cup làm vành đối đồng điều thành 1 lý thuyết đối đồng điều nhân tính bởi vậy lớp cơ bản của 1 chu trình có số chiều 0 $\sum n_i P_i$ sẽ có degree là $\sum n_i$. Bởi vậy số các điểm chung của 2 chu trình có lớp tương ứng trong đối đồng điều $C.C'$ là deg©.deg(C').

Bây giờ chuyển qua motivation trong hình học đại số trên trường hữu hạn, 1 kết quả well-known cho công thức vết (Trace formula) của Lefschetz để tính số điểm fixpoint của 1 tự đồng cấu $f \in End_(X)$ là $|Fix(f)| = \sum_0^{2 dim X} (-1)^i tr( f^$*$|H^i(X))$, với Weil cohomology. Trong trường hợp nếu ta xét trường hữu hạn $k = \mathbb{F}_q$ thì công thức vết trên sẽ cho ta kết quả của Frobenius hình học thay vì 1 tự đồng cấu. Cùng với giả thuyết Weil cho hàm zeta trên đa tạp đại số over finite fields, Grothendieck được khích lệ để xây dựng 1 lý thuyết đối đồng điều vạn năng (universal cohomology theory) bao trùm các loại đối đồng điều l-adic, etale, algebraic de Rham...

Grothendieck đưa ra phạm trù các motives số hiệu dụng (category of numeric effective motives), say $NM^{eff}(k)_{\mathbb{Q}$, và xét contravariant functor $\mathfrak{h}:$ {đa tạp đại số xạ ảnh over k} -----> $NM^{eff}(k)_{\mathbb{Q}$. Vậy thì tính vạn năng (phổ dụng) của universal cohomology theory được hiểu như sau: Nếu ta tương ứng mỗi object từ phạm trù các đa tạp đại số vào motives số hiệu dụng, và tương ứng object đó với lý thuyết đối đồng điều của chúng ta như là etale cohomology với hệ số trong trường l-adic $H_{et}(X \otimes \bar{k}, \mathbb{Q}_l)$, vậy thì phép tương ứng đối đồng điều này sẽ phân rã thông qua hiện thực hóa l-adic (l-adic realization) từ motives vào đối đồng điều.

1 ví dụ cơ bản là không gian xạ ảnh trên trường F_q, tổng số điểm của nó sẽ là $1 + q + ... + q^n$, với n là số chiều của không gian, vậy thì motives nói trên có thể tính thông qua Jacobian.

Bài sau tôi sẽ introduction về nhóm motivic Galois để Kakalotta tiện đường chọc ngoái sang hình học không giao hoán (see some works of Connes or Kontsevich). Có thể tạm giải thích ngắn gọn, nếu gọi V là phạm trù các k-lược đồ etale hữu hạn vậy thì người ta có 1 epimorphism a: G_mot (V) ----> Gal(\bar{k},k). Trong đó có thể xem G_mot(V) như là giới hạn inductive của G_mot(X), X là k-lược đồ etal hữu hạn chạy khắp phạm trù V.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh