Đến nội dung

Hình ảnh

Intersection theory

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#21
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
@AL: Cảm ơn sự đóng góp ủng hộ của cậu. Có điều cậu vui lòng viết cụ thể hơn được không? Đọc bài viết của cậu cảm giác như đọc wikipedia/100.:)

Chương 2: Multiplicities và Normal Cones

Trước khi đi vào những trường hợp tổng quát ta xem xét trường hợp affine varỉety. Sẽ có một thí dụ chỉ ra sai lầm của những thử nghiệm lúc đầu.

Cho X một subvariety của $k^n$ ở đây k là một trường đóng đại số đạc trưng 0 (ta chọn $k=C$ trong phần này).

Kí hiệu I(X) ideal xác định X. Khi đó coordinate ring của X là $\Gamma (X)=k[X_1,...,X_n]/I(X).$ (Đây chỉ là vành đa thức n biến trên k, nhưng hạn chế xuống X, do đó những đa thức trong I(X) sẽ lấy giá trị 0).

Độ dài (length): của một module là độ dài của xích tăng lớn nhất các submodule của module đó. (xem Hartshorne).

Cycle: Cycle Z của X là một tổng hữu hạn của những irreducible subvariety của X: $[Z]=\sum _{i=1}^rm_i[V_i]$ (ở đây dấu [] chỉ một phần tử đại diện của lớp tương đương, ở đây là rational equivalence, vì ta sẽ thường làm việc với projective varỉeties). Z được gọi là một k-cycle nếu số chiều của tất cả $V_i$ là k. Nhận xét rằng một cycle là thuộc về homology (xem de Rham cohomology), nhưng bởi đối ngẫu Poincare ta cũng có thể xem nó như thuộc về cohomology. Cohomology thì thuận tiện hơn vì nó tạo thành một vành (sẽ gỉi thích kĩ hơn khi nói về Chow ring trên một scheme tổng quát.)

$m_i$ trong công thức trên được định nghĩa bởi (Serre): $m_i=length (O_{V,X}/I(Z)O_{V,X})$

Ở đây nhắc lại là $O_{Z,X}=S^{-1}\Gamma (X) $ localization của $\Gamma (X)$ tại $I(Z)$, nôm na là tập các hàm hữu tỉ dạng $P/Q$ với $Q\notin I(Z)$. Công thức của Serre cho phép tính biểu diễn của Z. Lưu ý là Z như một cycle khác với Z như một tập hợp: điểm khác là những bội số ở đây.

Một phản thí dụ: Trước khi Serre đưa ra công thức đúng thì Samuel phỏng đóan rằng thay vì dùng length ta có thể dùng $dim _{C}O_{V,X}$.

Bài tập 1: Lấy V là ảnh của ánh xạ $\phi : C^2->C^4$ với $\phi (s,t)=(s^4,s^3t,st^3,t^4)$. Lấy $P=(0,0,0,0)$. Lấy $H_1=\phi (C\times {0}), H_2=\phi (0\times C)$. Khi đó $H_1\cap H_2 =P. $ Tính multiplicity tại P bằng 2 cách:

Cách 1: Công thức Samuel (sẽ cho kết quả là 5)

Cách 2: Dùng phương pháp biến đổi liên tục (sẽ ra được kêt quả là 4). Nếu kiên nhẫn, hãy tính bằng công thức của Serre.:D

Sử dụng rằng như một subvariety của $C^2$ thì $I(V)=<x_1x_4-x_2x_3,x_1^2x_3-x_2^3,x_2x_4^2-x3^3,x_2^2x_4-x_3^2x_1>$

Bài tập 2: (chuẩn bị cho rational equivalence) Cho $f:C->C$ là một hàm hữu tỉ. Mối liên hệ giữa các không điểm (zeros) và các cực (poles) là gì.

Lời giải sẽ được post sau.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#22
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Anh TLCT kính mến: Do vì không chép sách nên em chỉ có thể viết chung chung được thôi ạ. Anh muốn hỏi em viết cụ thể về cái gì thì em xin sẵn sàng hầu anh ạ?

#23
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
@AL: Vậy cậu có thể định nghĩa kĩ lại những thuật ngữ mà cậu dùng không, như Weil cohomology theory, nummeric effective motive? Vì sẽ có nhiều người đọc với nhiều trình độ và nhiều sự quan tâm khác nhau. Nếu mục đích cậu viết cho nhiều người đọc thì cậu co thể chi tiết một chút được không? Nếu cậu trình bày được cho càng nhiều người hiểu được thì càng tốt. Thanks a lot.

Để minh họa cho tính toán dùng length ta xét ví dụ sau: Cho đường cong $y^2=x^3$ trong $C^2$. Hàm số $y/x$ được định nghĩa trên một tập mở trù mật của V, và có thể có một zero hoặc pole tại $y=x=0$. Đó là pole hay zero, và multiplicity là bao nhiêu?

Giải:

Cách 1: Dùng tham số $y=t^3,x=t^2=>y/x=t$ vậy có bậc 1. Cách này không thuyết phục lắm.

Cách 2: $\Gamma (V)=C[x,y]/(y^2-x^3)$. Multiplicity của hàm r=y/x được định nghĩa (xem lại mục trước c6ng thức Serre) bằng $mult(y)-mult(x)$ với $mult (y)=length _{O}O/(y)$ ở đây $O$ là local ring của $V$ tại điểm $(0,0)$ (xem bài trước). Có một tính toán đơn giản hơn, là $\Gamma (V)/(y)=C[x,y]/(y^2-x^3,y)=C[x]/(x^3)$, ta thấy rằng mult(y)=3. Tương tự mult(x)=2.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#24
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Đa thức Hilbert: Cho Z là một (subscheme) subvariety của $P^n$ với ideal $I=I(Z)$ một ideal thuần nhất của $C[x_0,x_1,...,x_n]$ . Khi đó định nghĩa hàm Hilbert
$H_Z(t)=dim _C(C[x_0,x_1,...,x_n]t/I)_t$ (tức là số chiều của thành phần thuần nhất bậc t của coordinate ring của Z). Khi đó tồn tại một đa thức $P_Z(t)$ với bậc m=dim(Z) sao cho nếu t đủ lớn thì $H_Z(t)=P_Z(t).$

Ý tưởng của lời giải: Ý tưởng của lời giải là xây dựng một resolution đặc biệt của coordinate ring $\Gamma (z)$, và sau đó dùng quy nạp trên số chiều của V (Hilbert syzygy). Khi xây dựng resolution này thì ta gặp ý tưởng của một Koszul complex. (Chi tiết xem trong các tài liệu tham khảo ở trên).

Bậc (degree) của một subvariety: Đa thức Hilbert cho phép ta xác định một tham số quan trọng của một subvariety Z thuộc số chiều n, chính là bậc deg (Z) của nó (như ta đã nói trong định lý Bezout). Cách xác định là như sau: $P_Z(t)=deg(Z)\dfrac{t^n}{n!}$+những số hạng bậc thấp hơn.

Giải bài tập 2: Với một hàm hữu tỉ f:C-> C thì số zeros bằng số poles.

Giải bài tập 1:

Cách 1: (Samuel) $A=C[x_1,x_2,x_3,x_4]/I(V)=C[x_1,x_2,x_3,x_4]/(x_1x_4-x_2x_3,x_1^2x_3-x_2^3,x_2x_4^2-x_3^3,x_2^2x_4-x_3^2x_1)$. Khi đó trong V, $I(H_1)=(x_4), I(H_2)=H_1$. Giao điểm P của $H_1,H_2$ có coordinate ring $A/(I(H_1)\cup I(H_2))=A/(x_1,x_4)=C[x_2,x_3]/(x_2,x_3,x_2^3,x_3^2)$. Đây là một vector space trên C sinh bởi $1,x_2,x_3,x_2^2,x_3^2$ do đó có số chiều 5.

Cách 2: Ta dùng phương pháp biến đổi liên tục. thay vì xét giao (trong V) của $H_1=(x_4=0),H_2=(x_1=0)$ ta xét giao của $H_1=(x_4=a),H_2=(x_1=b)$ với a,b khác 0. Tinh toán cẩn thận chỉ ra rằng số giao điểm là 4.

Bài tập 3: (sẽ không có lời giải-Sau khi trình bày công thức giao bằng Chern class bạn có thể tự giải bằng chính mình. Ví dụ này có thể giúp làm quen với tính toán với những vector bundle) Cho L là một đường thẳng trong P^4. Xét X là không gian nhận được bằng cách blowup dọc theo L. Gọi E là exceptional divisor. Hãy tính toán E.E,E.E.E cụ thể một cách hình học (nghĩa là chỉ ra E.E, E.E.E sẽ là subvariety nào của E).

(Bạn có thể xem những ví dụ tính toán dạng này ở cuối chương 4 của Griffith và Harris).
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#25
PnAT

PnAT

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
@toilachinhtoi:

Tiện anh Hai nói zề Intersection Theory mong anh cho em út một chứng minh dễ đọc chút xíu zề Bezout theorem được hôn! Thiệt thà là em rất thik cái đó ha.
Chán !

#26
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

@toilachinhtoi:

Tiện anh Hai nói zề Intersection Theory mong anh cho em út một chứng minh dễ đọc chút xíu zề Bezout theorem được hôn! Thiệt thà là em rất thik cái đó ha.


dễ đọc nhất là cm bằng cohomology.

#27
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
@PnAT: Một cách để chứng minh định lý Bezout là cố gắng đưa về trường hợp trong các hypersurfaces $H_1,...,H_n$, tất cả trừ một, là một hyperplane. Cách làm là như sau (có thể ngu?#8220;n gốc từ Serre??): Ta xét trường hợp đơn giản nhất là n=2: (trường hợp tổng quát theo bằng quy nạp $H_1\cap H_2\cap ...\cap H_n=H_1\cap (H_2\cap ...\cap H_n)$)

(Serre) Xét $H_1,H_2\in P^n$. Khi đó kí hiệu $\Delta$ là đường chéo trong $P^n\times P^n$ thì $\Delta \cap (H_1\times H_2)=H_1\cap H_2$. Bây giờ $deg(H_1\times H_2)=deg(H_1)deg(H_2)$. $\Delta$ là một không gian con tuyến tính của $P^n\times P^n$ nên nó sẽ là giao của các hyperplane. Vậy bài toán đưa về chứng minh cho trường hợp $H_1\cap H_2$ với $H_1$ hoặc $H_2$ là hyperplane.

Đối với trường hợp đơn giản này thì ta có thể sử dụng đa thức Hilbert để tính toán rằng: nếu $Z=\sum m_iV_i$ là một k-cycle thì
$deg(Z)=\sum m_ideg(V_i)$

(Lời giải trong Fulton) Dùng fancy language thì thay vì $H_1\times H_2$ ta nói về ruled joint J của $H_1,H_2 $ định nghĩa bởi quỹ tích của những đường thẳng nối một điểm trong $H_1$ với một điểm trong $H_2$, xem như mọt subvariety của $P^{2n+1}$.

Bài sau sẽ nói về một ý tưởng quan trọng của Fulton là deformaton to normal cone.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#28
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Bây giờ chúng ta giải thích ý tưởng deformation to normal cone của Fulton (định nghĩa chính xác sẽ được cho trong bài sau):

Trong trường hợp X là một smooth subvariety của một smooth variety Y thì normal cone C của X trong Y chính là normal bundle.

Bài toán là chẳng hạn ta muốn tìm intersection X.Z.

Một cách để làm là tìm một cycle Z' tương đương với Z sao cho X giao với Z' properly. Đây chính là nội dung Chow moving lemma. Tuy nhiên có vài nhược điểm của cách này: thứ nhất là phạm vi ứng dụng của Chow's lemma, thứ hai là nhiều khi khó tìm một cách dễ dàng Z', nhất là khi giải quyết với trường hợp self-intersection.

Ý tưởng deformation to normal cone là như sau:

1. normal cone C trong trường hợp X và Y là smooth thì là một vector bundle trên X, và ta biết bởi Thom's isomorphism thì cohomology ring của X và C trong trường hợp đó là như nhau

2. Việc tính X.Z đưa về việc định nghĩa một homomorphism từ A_k(Y)->A_{k-d}(X) bởi Z->X.Z. (A_k(Y)= tập hợp những k-cycle trên Y, nó là thuộc về homology).

Định nghĩa ánh xạ trên bằng cách trước hết định nghĩa một hàm A_k(Y)->A_k(C ) (gần X thì Y và C nhìn giống nhau), sau đó định nghĩa A_k(C )>A_{k-d}(X) (nghĩ về Thom's map)

Hơn nữa ta còn có thể định nghĩa X.Z một cách hình học như là intersection with zero-section của C.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#29
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Chúng ta sẽ định nghĩa normal cone vả những khái niệm quan hệ.

Normal cone: Cho W là subvariety của một variety V. Gọi I là ideal xác định W trong coordinate ring A của V. Khi đó normal cone C đuợc định nghĩa bởi:

$C=Spec(\oplus _{i=0}^{\infty}I^i/I^{i+1})$


Projective cone:

$P©=Proj(\oplus _{i=0}^{\infty}I^i/I^{i+1})$

Blowup: Blowup Bl của V dọc theo W được định nghĩa bởi

$Bl=Proj(\oplus _{i=0}^{\infty}I^i$

Blowup có thể được trình bày nôm na như là ta xét một manifold X = (V-W) + projective của normal bundle của W. Như vậy trong Blowup thì ta bỏ đi W và thêm vào projective của normal bundle của W, mà ta gọi là exceptional divisor E. Lý do gọi như vậy là vì self-intersection E.E của E là âm, nên đặc biệt nó không là smooth complex manifold bình thường.

Để có cảm giác về những khái niệm trình bày ở đây các bạn có thể thử bài tập sau:

Bài tập: Cho V=$C^3$, W=một đường thẳng trong V. Tính C, Proj© và Bl bằng công thức đại số ở trên.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#30
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Dạo này được nghỉ đông rồi, sẽ vào hâm nóng lại topic này nhằm học hỏi thêm (sẽ liên hệ sang Local cohomology). Mong 2 bạn KK và AL vào đây tung chưởng nhưng xin đừng chửi bới là được.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#31
Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Anh cứ viết đi, đoạn nào đọc nghe khó hiểu quá thì chúng em lại hỏi. Em thì thích thảo luận Intersection theory bằng motivic cohomology hơn, hay em đề nghị chúng ta làm cái Seminar trên này theo cuốn sách của Voevodsky với Weibel đi.

#32
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Cảm ơn AL.

Chúng ta tiếp tục với Chern class. Cách định nghĩa cổ điển của Milnor-Stasheff (định nghĩa top Chern class rồi định nghĩa other Chern classes bằng qui nạp) sẽ không trình bày ở đây.

Định nghĩa của Fulton: bắt đầu bằng định nghĩa first Chern class của một line bundle L. Cách định nghĩa là như sau: Cho một line bundle L trên X, khi đó có tương ứng một zero section C của X (chính xác hơn là một divisor). Khi đó tác động của cohomolgy class $c_1(L)$ lên một cycle V (xem như một homology class) có thể biểu diễn thông qua intersection of cycles C and V.

Định nghĩa cho một vector bundle bất kì: Nếu E là một vector bundle trên X thì nó có một filtration $E_0\subset E_1\subset E_2\subset \ldots \subset E_r=E$ ở đây $E_i\subset E_{i+1}$ là subbundle sao cho $E_{i+1}/E_i=L_i$ là bundle. Khi đó định nghĩa
$c_t(E)=\prod _{i}(1+c_1(L_i))$
ở đây
$c_t(E)=1+c_1(E)t+c_2(E)t^2+\ldots...$

bài sau sẽ tiếp tục với một số ví dụ tính toán Chern classes.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 22-12-2007 - 12:16

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#33
motivic_cohomology

motivic_cohomology

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
Mình cũng thử đóng góp 1 ít về Chow groups nhé. 1 simplicial object được định nghĩa bởi $\Delta^n = Spec k[x_0,...,x_n]/(\sum_{i=0}^n x_i = 1)$. Toán tử biên được cho bởi $\partial_j : \Delta^n \rightarrow \Delta^{n+1}$, với $x_j=0$.

Now let $X \in \underline{Schm}/k$. Write $Z^i(X,m) \simeq \oplus_Y \mathbb{Z}[Y]$, where $Y \subset X \times \Delta^m$, với $codim(Y,X\times \Delta^m) = i$ và Y là subvarieties ( closed reduced irrducible subschemes) which intersect all faces $X \times \Delta^j, j < m$ properly. Ta nói 2 subvarieties $Y_1,Y_2$ của 1 scheme $X$ intersect properly nếu mọi component của $Y_1 \cap Y_2$ có codimension là $codimY_1+codimY_2$.

higher Chow group được hiểu như là $CH^i(X,m) \simeq \pi_m(Z^i(X,.)) \simeq H_m(Z^i(X,.))$, trong đó nhóm homotopy của cái phức $Z^i(X,m)$ được hiểu như in sense trong cuốn Weibel. Nếu đặt m=0 thì ta sẽ thu được classical Chow groups.

Nhóm higher Chow groups có các tính chất homotopy-invariance, localization,... như classical Chow groups, với các tính chất motivic cohomology được liệt kê trong topic Artin Stacks (hình như etale_cohomology viết phần này), dễ thấy classical Chow group (Intersection theory) được liên hệ với motivic bởi $H^{2i,i}(X,\mathbb{Z}) = CH^i(X)$.

#34
etale_cohomology

etale_cohomology

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
to motivic_cohomology:

Ừ mình có list lên 1 số fundamental properties của motivic cohomology theory. Có lẽ ở đây KK sẽ thú vị với $\mathcal{DM}_{gm}$ đấy, liệu motivic_cohomology có thể đi 1 đường về Chow motives không? Xin gợi ý thế này cho dễ viết, let us start with phạm trù $\underline{Chow}^{eff}$, xem như là idempotent completion (hoặc pseudo-abelian hull) của phạm trù các đa tạp xạ ảnh trơn với cấu xạ giữa các objects được hiểu như là Chow groups của tích thớ (over k). Sau đó giới thiệu cannonical decomposition $\mathbb{P}^1 = Spec k \oplus \mathbb{L}$ với $\mathbb{L}$ là Lefschetz motive. Sau đó nghịch đảo Lefschetz motive nhận được phạm trù $\underline{Chow}$ nhận $\underline{Chow}^{eff}$ như 1 phạm trù con đầy.

Từ đó người ta có thể nhúng phạm trù $\underline{Chow}^{eff}$ 1 cách phản biến vào phạm trù $\mathcal{DM}^{eff}_{Nis}(k,\mathbb{Z})$. Tất nhiên là motivic_cohomology phải giới thiệu thế nào là Nis-Top, cdh-Top, Nis-Sh,...

#35
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Cảm ơn các cohomology.:D

Ta nêu một số ví dụ về tính toán Chern class.

1. Dual bundle: $c_i(E^v)=(-1)^ic_i(E)$ Giải: Nếu E có một filtration với những quotient line bundles $L_i$ thì $E^v$ có một filtration với quotient line bundles $L_{r-i}^v$ với r là số chiều của vector bundle E. Do đó $c(E)=\prod _{i}(1+c_1(L^v)t)=\prod _{i}(1-c_1(L_i)t)$

2. Tensor product: Nếu E có một filtration với quotient line bundles $L_i$, F có một filtration với quotient line bundles $H_j$ thì $E\otimes F $ có một filtration với quotient line bundles $L_i\otimes H_j$ Từ đó ta có thể tính Chern classes của ténor product, dùng công thức $c_1(L_i\otimes H_j)=c_1(L_i)+c_1(H_j)$.

3. Exterior power: Nếu $a_1,\ldots ,a_r$ là những Chern root của E (nghĩa là $c_1(L_i)$ với $L_i$ những quotient line bundles của một filtration của E) thì
$c_t(\bigwedge ^p E)=\prod _{i1<\ldots <ip}(1+(a_{i1}+\ldots a_{ip})t)$ Giải: Xem xét một filtration $E_i\subset E_{i+1}$ của E thì ta có một SES (short exact sequence)
$0->L_r->E_r->E_{r-1}->0 $. Khi đó ta cũng có một SES (chứng minh có thể xem trong Manin)
$0->\bigwedge ^{p-1}E_{r-1}\times L_r->\bigwedge ^pE_r->\bigwedge ^p E_{r-1}->0$ Theo sum formula của Whitehead áp dụng cho SES:
$c(\bigwedge ^pE)=c(\bigwedge ^pE_{r-1})c(\bigwedge ^{p-1}E_{r-1}\times L_r)$
Do đó ta có thể dùng 2) và quy nạp trên r và p.

4. Chern character: Nếu $a_1,\ldots ,a_r$ là những Chern root của E thì định nghĩa
$ch(E)=\sum _{i}e^{a_i}$

Todd class
$td(E)=\prod _{i}\dfrac{a_i}{1-e^{-a_i}}$

Những cohomology classes này xuất hiện trong Grothendieck -Riemann-Roch formula.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh