-------------------------
Được biết trên diễn đàn có nhiều người đang làm về lý thuyết biểu diễn, hình học không giao hoán, đại số toán tử và vật lý toán nên mạo muội mở topic này mong mỏi được học hỏi từ mọi người. Bài đầu tiên này tôi sẽ trình bầy cơ học lượng tử và các biểu diễn Schrödinger, biểu diễn Heisenberg, biểu diễn Dirac bằng viewpoint của pure vật lý lý thuyết. Mong nhận được sự ủng hộ từ phía mọi ngừoi mà mong mọi người cùng nhau chia xẻ kiến thức.
Quantum mechanics
Cơ học lượng tử có thể phát biểu bằng nhiều cách, bằng cơ học sóng của Schrödinger, cơ học ma trận của Heisenberg, hay tích phân đường của Feynman. Nội dung của bài viết này muốn đưa ra 1 cái nhìn về lý thuyết biểu diễn dưới con mắt của vật lý. Hy vọng các chuyên gia trên diễn đàn cho thêm vài ý kiến đóng góp. Trước hết trong cơ học lượng tử người ta đưa ra khái niệm hàm sóng hay còn gọi là vector trạng thái trên 1 không gian tuyến tính. Ta gọi hàm sóng này là 1 hàm phức của 2 biến tọa độ không gian với thời gian (có nghĩa là ta đang xét cơ học lượng tử phi tương đối tính), say $\phi(x,t)$. Bản thân hàm sóng không có 1 ý nghĩa vật lý nào cả, tuy nhiên trường phái Copenhagen mà linh hồn là Bohr đã đưa ra 1 giả định táo bạo về ý nghĩa sác xuất của hạt (sau này khi trình bầy xong về lượng tử hóa chúng ta sẽ nói về tiền lượng tử (Pre-quantization) 1 lý thuyết nổi tiếng của Bohr-Sommerfeld). Bohr cho rằng bình phương hàm sóng sẽ cho ta mật độ sác xuất tìm thấy hạt, i.e mật độ sác xuất cho bởi $\sigma(x,t) = \phi(x,t) \bar{\phi}(x,t)$. Do đó sẽ dẫn tới điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng $\int \sigma(x.t) d^3x = 1$, có nghĩa là sác xuất tìm thấy hạt ở đâu đó trong toàn miền không gian phải là tuyệt đối.
Như đã biết trong cơ học cổ điển, người ta dùng 2 hình thức luận bao gồm hình thức luận Hamilton và hình thức luận Lagrange. Trong cơ học lượng tử để thuận tiện chúng ta chọn ngôn ngữ của Hamilton, tuy nhiên như sẽ thấy ở bài sau trong lý thuyết trường lượng tử thì hình thức luận Lagrange sẽ chiếm ưu thế hơn. Quá trình lượng tử hóa lần thứ nhất được hiểu như là quá trình chuyển các đại lượng vật lý(vốn được biểu thị thông qua hàm trơn trong vật lý cổ điển) trở thành các toán tử tuyến tính hermite (do đại lượng vật lý phải là 1 số thực) trên 1 không gian Hilbert. Để đơn giản chúng ta có thể chọn hình thức biểu diễn cơ học sóng Schrödinger thông qua biểu diễn tọa độ, tất nhiên người ta có thể chọn biểu diễn xung lượng. Hàm Hamilton cổ điển được cho bởi $H = p^2/2m + V(x)$, với $p$ là xung lượng và $m$ là khối lượng. Tôi sẽ chọn hằng số Plank cũng như vận tốc ánh sáng đều bằng 1 cho đơn giản thuận tiện. Lượng tử hóa lần 1 sẽ cho ta 1 phép tương ứng $p \rightarrow -i \nabla$, do đó toán tử Hamilton có thể được viết lại dưới dạng $H = -1/2m \Delta + V$, với $V$ là hàm thế năng.
Bằng những suy nghĩ mày mò sáng tạo và qua thực nghiệm Schrödinger mạnh dạn đưa ra pt toán tử nổi tiếng mang chính tên ông, namely pt Schrödinger
$H \phi(x,t) = i \partial_t \phi(x,t)$
Do các đòi hỏi vật lý, hàm sóng của chúng ta sẽ luôn được yêu cầu phải $L^2$. Ta đưa ra khái niệm trị trung bình (hay giá trị kỳ vọng) của 1 toán tử $A$ như là $<A> = <\phi|A|\phi> = \int d^3x \bar{\phi}A \phi$, trong đó chúng ta ngầm hiểu rằng toán tử trong tích phân sẽ tác động vào phía bên phải của hàm sóng. Chú ý rằng pt Schrödinger ở trên có thể lấy liên hợp phức, say $H \bar{\phi} = -i \partial_t \bar{\phi}$, do đó nếu lấy đạo hàm theo thời gian của trị trung bình toán tử kết hợp với pt Schrödinger chúng ta thu được pt Ehrenfest biểu thị mối quan hệ biến thiên theo thời gian của trị trung bình:
$\dfrac{d}{dt}<A> = i<[H,A]> + \partial_t <A>$.
Trong đó [.,.] là móc Lie lượng tử quen thuộc, [A,B]=AB-BA. Sau này chúng ta khi lượng tử hóa lần 2 sẽ gặp móc Lie lượng tử phản giao hoán {.,.}, và nếu tổng quát hóa cho cả Boson lẫn Fermion trong 1 đại số Lie phân bậc $\mathbb{Z}_2$ chúng ta sẽ gặp cái gọi là siêu đối xứng(SUSY). Tuy nhiên đó là việc về sau. Giờ chúng ta có thể so sánh cơ học lượng tử với cơ học cổ điển. Nhắc lại pt chuyển động trong cơ học cổ điển cho bởi móc Poisson cổ điển:
$\dfrac{d}{dt}f(p,q,t) = \{H,f\} + \partial_t f$.
trong đó $\{g,f\} = \dfrac{\partial f}{\partial p} \dfrac{\partial g} {\partial q} - \dfrac{\partial f} {\partial q} \dfrac{\partial g} {\partial p}$. Do đó pt chuyển động trong cơ học lượng tử được hiểu như là pt chuyển động của trị trung bình của 1 đại lượng vật lý, điều này sẽ trở nên rõ ràng sau này, khi chúng ta đưa vào hệ thức bất định Heisenberg, cho thấy việc đo chính xác đồng thời các đại lượng vật lý mà toán tử của chúng không giao hoán là hoàn toàn không thể. Đây là điểm khác biệt cơ bản giữa vật lý lượng tử với vật lý cổ điển. Nếu có thời gian tôi sẽ trình bầy 1 số quan điểm của Podolsky-Einstein về thế giới vật lý chứa các tham số ẩn nhằm giải thích thế giới lượng tử, tuy nhiên quan điểm này nhanh chóng bị Feynman vạch ra chỗ sai.
Nếu lấy đạo hàm theo thời gian hàm mật độ sác xuất ở trên kết hợp với pt Schrödinger chúng ta sẽ thu được pt liên tục, 1 pt tương tự như trong cơ học môi trường liên tục:
$\partial_t \sigma(x,t) + div( j ) = 0$
trong đó $j(x,t) = 1/2mi [\bar{\phi} \nabla \phi - \phi \nabla \bar{\phi}]$ là mật độ dòng.
Bây giờ chúng ta hãy đưa vào các ký hiệu của Dirac về Bra và Ket-vector, thay vì hàm sóng viết như ở trên chúng ta viết ngắn gọn lại cho Ket-vector $| \phi,t>$, và đối ngẫu của nó là Bra-vector $<\phi,t|$. Pt Schrödinger được viết lại dưới dạng:
$i \partial_t |\phi,t> = H |\phi,t>$.
Pt này có nghiệm hình thức (trong trường hợp Hamiltonian không phụ thuộc tường minh vào thời gian) $|\phi,t> = e^{-iHt}|\phi,0>$. Cách biểu diễn thế này người ta gọi là biểu diễn Schrödinger. Giờ tôi muốn đưa vào cách biểu diễn Heisenberg hay còn gọi là cơ học ma trận. Có thể nhận thấy trong biểu diễn Schrödinger người ta quan niệm hàm sóng phụ thuộc vào thời gian, và đại lượng vật lý được thay bởi toán tử, nghiên cứu toán tử có nghĩa là cho nó tác động vào hàm sóng để thu được pt giá trị riêng. Giờ đây trong cơ học ma trận, Heisenberg quan niệm rằng, hàm sóng không phụ thuộc vào thời gian, còn toán tử thì phụ thuộc. Nếu gọi $A$ là 1 toán tử nào đó trong bức tranh Schrödinger, vậy thì biểu diễn Heisenberg của nó được định nghĩa bởi $A_H = e^{iHt} A e^{-iHt}$, bằng tính toán đơn giản( lấy đạo hàm thời gian 2 vế) chúng ta có pt chuyển động Heisenberg:
$\dfrac{d}{dt}A_H = i [H,A_H] \partial_t A_H$.
Hàm sóng trong tranh Heisenberg được định nghĩa bởi $|\phi> = e^{iHt} |\phi,t>$, dễ thấy 2 biểu diễn Schrödinger và Heisenberg là tương đương nhau bởi trị trung bình (đại lượng vật lý cần đo) trong 2 biểu diễn này là như nhau: $<\phi,t|A|\phi,t> = <\phi|_H A_H |\phi>_H $
Bây giờ tôi muốn giới thiệu thêm 1 loại biểu diễn nữa, đó là biểu diễn tương tác (Interaction) hay còn gọi là biểu diễn Dirac. Biểu diễn này vô cùng quan trọng trong lý thuyết các trường tương tác, bởi trên thực tế các hạt không thể tránh khỏi tương tác với nhau, mô hình trường tự do chỉ là 1 mô hình lý tưởng nhằm đơn giản hóa. Thêm vào nữa, biểu diễn tương tác cũng đóng vai trò ko thể thiếu trong lý thuyết nhiễu loạn.
Bài toán đặt ra là Hamilton được cho bởi $H = H_0 + V(t)$, trong đó toán tử $H_0$ không phụ thuộc thời gian. Ta định nghĩa hàm sóng cũng như toán tử trong bức tranh tương tác như sau:
$|\phi,t>_{int} = e^{iH_0t}| \phi,t> \\ \\ A_{int}(t) = e^{iH_0t}A(t)e^{-iH_0t}$
Do đó thu được pt chuyển động như sau:
$i \partial_t | \phi,t >_{int} = V_{int} |\phi, t>_{int} \\ \\ \dfrac{d}{dt} A_{int}(t) = i [H, A_{int}] + \partial_t A_{int} $
Bài sau tôi sẽ trình bầy cơ học lượng tử bằng pp Tích phân đường Feynman, và sẽ chứng minh nguyên lý tương đuơng Feynman, điều này có nghĩa từ tích phân đường, chúng ta sẽ thu lại hoàn toàn pt Schrödinger.
-------------------------
Mong mọi người tham gia ý kiến.
