Tính $\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $
$\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $
Bắt đầu bởi CFAW, 15-08-2007 - 11:23
#2
Đã gửi 05-03-2013 - 23:20
Tính $\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $
Ta xét nguyên hàm tổng quát sau $I=\int \! \left( {x}^{2\,n}+1 \right) ^{-1}{dx}$
Ta có đồng nhất thức sau
$$\left( {x}^{2\,n}+1 \right) ^{-1}=\sum _{k=1}^{n}-x\cos \left( 1/2\,{
\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}} \right) {n}^{-1} \left( {x}^{2
}-2\,x\cos \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}}
\right) +1 \right) ^{-1}
$$
Từ đây ta có thể dễ dàng tìm được kết quả là
$I=\sum _{k=1}^{n}-1/2\,\cos \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right)
\pi }{n}} \right) \ln \left( {x}^{2}-2\,x\cos \left( 1/2\,{\frac {
\left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}} \right) +1 \right) {n}^{-1}+\sin
\left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}} \right) \arctan
\left( \left( x-\cos \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi
}{n}} \right) \right) \left( \sin \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1
\right) \pi }{n}} \right) \right) ^{-1} \right) {n}^{-1}+c$
NGUỒN: portgas_d_ace (du học sinh chuyên ngành giải tích trường MIT)
Theo đó bài toán dễ dàng rồi $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{10} + 1 - 1}{x^{10} + 1}dx = \displaystyle \int_0^1 dx - \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x^{10} + 1} dx$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 05-03-2013 - 23:30
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh