Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 CFAW

CFAW

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 15-08-2007 - 11:23

Tính $\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $

#2 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 05-03-2013 - 23:20

Tính $\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $



Ta xét nguyên hàm tổng quát sau $I=\int \! \left( {x}^{2\,n}+1 \right) ^{-1}{dx}$
Ta có đồng nhất thức sau
$$\left( {x}^{2\,n}+1 \right) ^{-1}=\sum _{k=1}^{n}-x\cos \left( 1/2\,{
\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}} \right) {n}^{-1} \left( {x}^{2
}-2\,x\cos \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}}
\right) +1 \right) ^{-1}
$$
Từ đây ta có thể dễ dàng tìm được kết quả là
$I=\sum _{k=1}^{n}-1/2\,\cos \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right)
\pi }{n}} \right) \ln \left( {x}^{2}-2\,x\cos \left( 1/2\,{\frac {
\left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}} \right) +1 \right) {n}^{-1}+\sin
\left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi }{n}} \right) \arctan
\left( \left( x-\cos \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1 \right) \pi
}{n}} \right) \right) \left( \sin \left( 1/2\,{\frac { \left( 2\,k-1
\right) \pi }{n}} \right) \right) ^{-1} \right) {n}^{-1}+c$

NGUỒN: portgas_d_ace (du học sinh chuyên ngành giải tích trường MIT)

Theo đó bài toán dễ dàng rồi $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^{10} + 1 - 1}{x^{10} + 1}dx = \displaystyle \int_0^1 dx - \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x^{10} + 1} dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 05-03-2013 - 23:30


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-03-2013 - 22:39

Chấm bài 

tienvuviet: 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh