Tìm $m$ để GTLN của $y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất.
$\min\limits_m\max\limits_x \dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$
#1
Đã gửi 20-08-2007 - 09:30
- hxthanh, barcavodich, bangbang1412 và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 23-10-2013 - 00:51
Tìm $m$ để GTLN của $y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất.
Mình chỉ xin đóng góp ý kiến:
Ta chú ý nếu $m\leq a \leq M$ thì Max($\left | a \right |$) = Max(M;m)
Ta viết lại y như sau:
$\left | \frac{(1-m)x^{2} + 4x+4-m}{x^{2}+1} \right |$
Đặt biểu thức trong trị tuyệt đối là T
Do mẫu thức luôn dương nên ta nhân hai vế cho mẫu và chuyển về xét một phương trình ẩn x các tham số T và m
Xét trường hợp T = 1-m ta suy ra trực tiếp giá trị của x => giá trị của m thích hợp
Trường hợp còn lại
Ta sẽ dùng điều kiện có nghiệm để chỉ ra các giá trị Max, min của T theo m
Việc còn lại ta chỉ việc tìm max, min của các hàm một biến theo m rồi kết luận nghiệm bài tóan
( Hướng vậy thôi, mọi người góp ý)
#3
Đã gửi 23-10-2013 - 09:14
Tìm $m$ để GTLN của $y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$ là nhỏ nhất.
Ta có $y=\frac{\left | (1-m)x^2+4x+4-m \right |}{x^2+1}=\left | \frac{(1-m)x^2+4x+4-m}{x^2+1} \right |=\left | 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1} \right |$
Xét hàm số $z=g(x)=1-m+\frac{4x+3}{x^2+1}$
$g{}'(x)=\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1)^2}=\frac{-4x^2-6x+4}{(x^2+1)^2}$
$g{}'(x)> 0\Leftrightarrow x\in (-2;\frac{1}{2})$ ; $g{}'(x)< 0\Leftrightarrow x< -2$ hoặc $x> \frac{1}{2}$
---> GTCT của $z$ là $g(-2)=-m$ ; GTCĐ của z là $g(\frac{1}{2})=5-m$
Khi x tiến đến âm vô cực và dương vô cực thì z tiến đến $1-m$
Vậy GTNN của z là $-m$ ; GTLN của z là $5-m$
Xét hàm số $y=f(x)=\left | g(x) \right |$.Có các trường hợp :
$a)$ Nếu $m< 0\rightarrow -m> 0$ ---> GTLN của $y$ là $5-m$ > $5$ (1)
$b)$ Nếu $0\leqslant m\leqslant \frac{5}{2}$.Khi đó $m\leqslant 5-m$ ---> GTLN của $y$ là $5-m\geqslant \frac{5}{2}$ (2)
$c)$ Nếu $m> \frac{5}{2}$.Khi đó $m> 5-m$ ---> GTLN của $y$ là $m> \frac{5}{2}$ (3)
(1),(2),(3) ---> GTLN của $y$ nhỏ nhất bằng $\frac{5}{2}$ khi $m=\frac{5}{2}$
- hxthanh và caybutbixanh thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 23-10-2013 - 20:29
#5
Đã gửi 23-10-2013 - 22:14
Bài này là THCS mà các bạn
Vậy xin giải lại theo cách THCS :
Ta có $y=\frac{\left | (1-m)x^2+4x+4-m \right |}{x^2+1}=\left | \frac{(1-m)x^2+4x+4-m}{x^2+1} \right |=\left | 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1} \right |$
Mặt khác $(x+2)^2=x^2+4x+4\geqslant 0\rightarrow 4x+3\geqslant -x^2-1\rightarrow \frac{4x+3}{x^2+1}\geqslant -1$ (1)
Và $(2x-1)^2\geqslant 0\rightarrow 4x^2-4x+1\geqslant 0\rightarrow 4x+3\leqslant 4x^2+4\rightarrow \frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 4$ (2)
(1),(2) ---> $-1\leqslant \frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 4$ ---> $-m\leqslant 1-m+\frac{4x+3}{x^2+1}\leqslant 5-m$
---> GTLN của $y$ là số lớn nhất trong 2 số $\left | -m \right |$ và $\left | 5-m \right |$.Xét các trường hợp :
$a)m< 0$.Khi đó $\left | -m \right |< \left | 5-m \right |$ ---> GTLN của $y$ là $\left | 5-m \right |> 5$
$b)0\leqslant m\leqslant \frac{5}{2}$.Khi đó $\left | -m \right |\leqslant \left | 5-m \right |=5-m$ ---> GTLN của y là $5-m\geqslant \frac{5}{2}$
$c)m> \frac{5}{2}$.Khi đó $\left | 5-m \right |< \left | -m \right |=m$ ---> GTLN của y là $m> \frac{5}{2}$
Từ 3 trường hợp trên ---> GTLN của y nhỏ nhất là bằng $\frac{5}{2}$ khi $m=\frac{5}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-10-2013 - 22:23
- hxthanh và bangbang1412 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int f(\lfloor x\rfloor)dx…$Bắt đầu bởi hxthanh, 20-07-2022 psw |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
$\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}=?$Bắt đầu bởi dark templar, 17-11-2012 psw |
|
|||
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Những bài toán trong tuần →
[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (1 - 100)Bắt đầu bởi T*genie*, 30-07-2012 psw |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Các bài toán Đại số khác →
Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$Bắt đầu bởi Thanh Ha, 23-05-2009 psw |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh