Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi:
$x_0$=$2007$
$x_{n+1}$=$ -2007 \dfrac{x_0+x_1+x_2+...+x_n}{n}$ với mọi $n$ $\geq$$ 0$
Tìm hệ thức kiên hệ giưa $x_{n+1}$ và $x_n $
Tính tổng $S$=$x_0+2x_1+4x_2+...+2^{2007}x_{2007}$
#1
Đã gửi 28-08-2007 - 17:32
Mai Anh
-
- Thành viên
-
- 41 Bài viết
Binh nhất
Còn gì đẹp trên đời hơn thế
Người yêu người sống để yêu nhau.
Người yêu người sống để yêu nhau.
#2
Đã gửi 28-08-2007 - 18:12
DinhCuongTk14
-
- Hiệp sỹ
-
- 749 Bài viết
Tiến sĩ Diễn đàn Toán
1
Ta có : $x_{n+1}=-2007 \dfrac{x_1 +x_2+...+x_{n}}{n+1}$ nên : $(n+1)x_{n+1}=-2007(x_n+\dfrac{n.x_n}{-2007}) \Rightarrow (n+1)x_{n+1}-n.x_n=-2007.x_n \Rightarrow \dfrac{x_{n+1}}{n+1}=\dfrac{n-2007} {n+1}$
2
Đặt : $S_{n}=x_1+...+x_n$
Ta dễ dàng chứng minh được :$\dfrac{S-{n+1}}{S_n}=\dfrac{n-2006}{n+1}$
nên : $S_n=S_{0}.\dfrac{S_1}{S_0}...\dfrac{S_n}{S_{n-1}}=2007(-1)^{n}{2006 \choose n}$
Sử dụng : $x_n=S_n-S_{n-1}$ và ${2006 \choose n}+{2006 \choose n-1}={2007 \choose n}$
Từ đây :
Ta suy ra được $ \sum\limits_{i=0}^{2007}2^{i}x_i =2007(1-2)^{2007}=-2007 $
Ta có : $x_{n+1}=-2007 \dfrac{x_1 +x_2+...+x_{n}}{n+1}$ nên : $(n+1)x_{n+1}=-2007(x_n+\dfrac{n.x_n}{-2007}) \Rightarrow (n+1)x_{n+1}-n.x_n=-2007.x_n \Rightarrow \dfrac{x_{n+1}}{n+1}=\dfrac{n-2007} {n+1}$
2
Đặt : $S_{n}=x_1+...+x_n$
Ta dễ dàng chứng minh được :$\dfrac{S-{n+1}}{S_n}=\dfrac{n-2006}{n+1}$
nên : $S_n=S_{0}.\dfrac{S_1}{S_0}...\dfrac{S_n}{S_{n-1}}=2007(-1)^{n}{2006 \choose n}$
Sử dụng : $x_n=S_n-S_{n-1}$ và ${2006 \choose n}+{2006 \choose n-1}={2007 \choose n}$
Từ đây :
Ta suy ra được $ \sum\limits_{i=0}^{2007}2^{i}x_i =2007(1-2)^{2007}=-2007 $
#3
Đã gửi 05-02-2010 - 18:16
Bài của anh hệ số sai một ít, đầu bài là $ x_{n+1}=-2007.\dfrac{x_0+x_1+x_2+...+x_n}{n}$ thì anh lại nhầm là $x_{n+1}=-2007.\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n+1}$ , nhưng cách làm của anh rất hay^^
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
