Chủ đề này có 9 trả lời

[mathun]

Định nghĩa vành địa phương là những vành có duy nhất một mô đun tối đại. Ai có thể lấy ví dụ về vành địa phương không ?.
Mathun chưa hiểu lắm về vành địa phương, hình như có thêm dịnh nghĩa về vành Noether địa phương nữa
Ngoài ra có rất nhiều kết quả của Đại số đồng điều ( Homology Algebra) trên vành địa phương, vành Noether địa phương

Có ai có thể nói cho mathun một chút về nó không hoặc một số cuốn sách nói về nó cũng được ( gởi kèm file thì quá tốt)
Xin cảm ơn ha

[canh_dieu]

Lại giả sử tiếp rằng mathun vẫn đang làm việc trên vành giao hoán . Trước hết sửa lại một chút về định nghĩa về vành địa phương.

Một vành là địa phương nếu nó chỉ có duy nhất một iđêan tối đại.

Có một đặc trưng rất hữu ích để nhận biết một iđêan http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là địa phương với iđêan tối đại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m khi và chỉ khi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m bao gồm tất cả các phần tử không khả nghịch trong R. Một phần tử http://dientuvietnam...metex.cgi?xy=1.

Ví dụ đơn giản về vành địa phương:

1) Trường http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k tùy ý
2) Vành các chuỗi lũy thừa hình thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k[[x_1,\ldots,x_n]] (http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là một trường). Iđêan tối đại là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m=(x_1,\ldots,x_n) = tập các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số hằng bằng 0. Để chứng minh điều này bạn hãy chứng minh rằng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R không nhất thiết là địa phương, người ta dùng kỹ thuật địa phương hóa (localization) để thu được các vành địa phương. Kỹ thuật đó như sau.

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là một tập con nhân tính (multiplicative subset) của R. (Tức là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S là tập

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r_1/s_1=r_2/s_2 nếu tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?s(r_1s_2-r_2s_1)=0. Tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R_S trở thành một vành với các phép cộng và nhân giống như của các phân số.

Có thể hiểu một cách nôm na là địa phương hóa tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S.

Bây giờ cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P là một iđêan nguyên tố. Khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R. Địa phương hóa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S thường được ký hiệu luôn là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R_P (cũng hay được diễn đạt là địa phương hóa tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P). Đây là một vành địa phương với iđêan tối đại

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P là làm khả nghịch tất cả các phần tử nằm ngoài http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P, để sao cho các phần tử không khả nghịch tạo nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P, nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P là tối đại. Tuy nhiên vẫn cần một chứng minh hình thức cho điều này; có thể dùng tiêu chuẩn như đã nói ở đầu.

Từ đó có thể xây dựng được một đống các vành địa phương khác. Đơn giản nhất là

3) Lấy vành các số nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z (không phải vành địa phương). Mọi iđêan nguyên tố của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z đều có dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(p) với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p là số nguyên tố. Địa phương hóa tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(p) sẽ cho một vành địa phương

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R=k[x_1,\ldots,x_n], http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là một trường (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R không phải là vành địa phương). Một iđêan nguyên tố của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P sẽ cho một vành địa phương



mathun có thể đọc thêm tại

1) Introduction to commutative algebra, Atiyah + Macdonald.
2) Commutative rings theory, Matsumura.

[Kakalotta]

NÓi chung thì em hiểu vành địa phương theo kiểu vật lý, tức là những vành nó gần giống với vành các mầm hàm chính quy tại một điểm. Em nghĩ chính vì thế nên người ta mới gọi nó là vành địa phương. Cái ideal sẽ là ideal các mầm triệt tiêu.

[quantum-cohomology]

Oh hay day, chung´ ta nen thao luan sau hon 1 chut ve Localization, em dang phai dung` Brown-Peterson cohomology, cai´ nay` chinh´ la` .

[CXR]

NÓi chung thì em hiểu vành địa phương theo kiểu vật lý, tức là những vành nó gần giống với vành các mầm hàm chính quy tại một điểm. Em nghĩ chính vì thế nên người ta mới gọi nó là vành địa phương. Cái ideal sẽ là ideal các mầm triệt tiêu.

Thuat ngu "dia phuong" chi'nh la bat nguon tu y nghia hinh hoc nhu Kakalotta da noi. Tai moi diem tren mot da tap dai so (hay manifold) thi vanh cac mam ham chinh quy luon la mot vanh dia phuong (chu khong chi la gan giong), trong do ideal cuc dai (duy nhat) la ideal cac mam ham triet tieu.

Nghien cuu vanh dia phuong cung co the duoc coi nhu nghien cuu cac tinh chat hi`nh hoc trong mot lan can nho cua cac diem tren mot da tap dai so. Tuy vay, dinh nghia cung nhu cac cong cu de lam viec voi vanh dia phuong thi lai thuan tuy dai so. Vi vay nguoi ta moi bao "algebraic geometry" va "commutative algebra" tuy la 2 chuyen nga`nh nhung thuc chat lai chi la 1.

[quantum-cohomology]

Em co´ 1 cau hoi. Neu ta dia phuong hoa´ http://dientuvietnam...x.cgi?K[X] thi` thu duoc http://dientuvietnam....cgi?(K[X])^{-1}xhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K[X]. Bay gio` goi V la` 1 k-Modul. Dinh nghia tensor algebra http://dientuvietnam...mimetex.cgi?I(V), sinh boi cac´ phan tu' ma` ta identify voi´ nhau nhu sau trong do´ va` . Thu duoc symmetric algebra .
Neu V co´ generator la` X, thi` co´ the identify . Neu V co´ m generator thi` . Nhu vay hieu theo 1 nghia nao` do´, ta co´ the localization duoc symmetric algebra. Dieu nay` co´ con` dung´ khong khi V la` 1 k-Modul nao` do´?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 27-04-2005 - 15:20

[CXR]

Neu co mot vanh giao hoan R thi ta luon co the dia phuong hoa R tai mot ideal nguyen to nao do. Cach xay dung vanh dia phuong cua R tai ideal nguyen to thi nhu canh_dieu da noi o tren.

Neu V la mot khong gian vector n chieu tren k (hay k-modul nhu QC goi) thi symmetric algebra cua V la mot vanh da thuc va tat nhien ta co the xay dung cac dia phuong hoa cua vanh da thuc tai cac ideal nguyen to.

[quantum-cohomology]

Tuc´ la` ta co the localization duoc symmetric algebra voi´ V la` k-Modul bat ky` nao` do´ ? Tuy nhien Symmetric algebra chi la` Polynomial ring V co´ generator.

[Kakalotta]

Mọi người hiểu nhầm ý của em rồi. Thực ra em nói đến gần giống tức là muốn bao gồm cho cả những vành mà không hữu hạn sinh, ví dụ như các đại số lồi địa phương như đại số các hàm trơn trên một đa tạp trơn chẳng hạn, hoặc một đại số các toán tử trên không gian Hilbert nào đó (như được xét đến trong hh kgh). Nhưng tuy nhiên, các kỹ thuật cũng không khác nhiều.

[CXR]

Mọi người hiểu nhầm ý của em rồi. Thực ra em nói đến gần giống tức là muốn bao gồm cho cả những vành mà không hữu hạn sinh, ví dụ như các đại số lồi địa phương như đại số các hàm trơn trên một đa tạp trơn chẳng hạn, hoặc một đại số các toán tử trên không gian Hilbert nào đó (như được xét đến trong hh kgh). Nhưng tuy nhiên, các kỹ thuật cũng không khác nhiều.

Dinh nghia ham dia phuong khong he co gioi han trong cac vanh huu han sinh.