Đến nội dung


Hình ảnh

$f(f(n))=n,n|\left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 27-04-2005 - 16:20

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $

$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$

#2 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 12-02-2013 - 19:40

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $

$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$

Em mới học lớp 10 nên chưa rành cái này nên làm thử:
Do $f(f(n))=n$ nên suy ra $f(f(1))<f(f(2))<...<f(f(n))$
$\Rightarrow f(f(n+1))>f(f(n))\Rightarrow f(n+1)>f(n)$ hoặc $f(n+1)<f(n)$ với mọi số nguyên dương n
*Xét $f(n+1)>f(n)$:
Vì $ f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* $ nên suy ra $f(n+1)\geq f(n)+1$
Ta có: $$n+2=(n+1)+1=f(f(n+1))+1\geq f(f(n)+1)+1\geq f(f(n))+1+1=n+2$$
Suy ra $f(f(n+1))=f(f(n)+1)$ $\Rightarrow f(n+1)=f(n)+1$ (1)
Trong (1): thay lần lượt $n=1,2,3...$ ta đi đến $f(n)=f(1)+n-1\Leftrightarrow f(n)-n=f(1)-1,\forall n\in \mathbb{N}^* $ (2)
Do (2) luôn đúng $\forall n\in \mathbb{N}^*$ nên từ (2) ta có: $$ f(f(1))-f(1)=f(1)-1\Leftrightarrow 2f(1)=2\Leftrightarrow f(1)=1$$
Thay $f(1)=1$ vào (2) ta được: $f(n)=n$
Thử lại thì hàm $f(n)=n$ không thỏa điều kiện $(ii)$ vì khi đó $$ n\bigg |\frac{n(n+1)}{2}$$. Điều này sai khi $n+1$ là số chẵn
*Xét $f(n+1)<f(n)$ cũng tương tự như trường hợp trên nhưng ta loại vì $n+1>n$ với mọi số nguyên dương n
Vậy không tồn tại hàm $f(n)$ thỏa bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 14-02-2013 - 12:17


#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 13-02-2013 - 10:36

Ta có: $$n+2=(n+1)+1=f(f(n+1))+1\geq f(f(n)+1)+1\geq f(f(n))+1+1=n+2$$
Suy ra $f(f(n+1))=f(f(n)+1)$ $\Rightarrow f(n+1)=f(n)+1$ (1)

Em suy cái này sao hay vậy? Chẳng có giả thiết hay chứng minh nào của em cho thấy $f$ đồng biến và hoặc $f$ đơn ánh, thì làm sao em có được?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 13-02-2013 - 19:02

Em suy cái này sao hay vậy? Chẳng có giả thiết hay chứng minh nào của em cho thấy $f$ đồng biến và hoặc $f$ đơn ánh, thì làm sao em có được?

Nói thật với anh: cái anh nói là em dựa trên 1 đoạn trong bài toán của Phan Huy Khải với đề bài như sau:
"Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
1) $f(n+1)>f(n)$ với mọi số nguyên dương n
2) $f(f(n))=n+2004$ với mọi số nguyên dương n "

#5 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 13-02-2013 - 19:03

Em cũng đã xét 2 trường hợp nhằm khi $f$ đồng biến hoặc nghịch biến

#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 13-02-2013 - 22:39

Em chưa hiểu rõ hết ý nghĩa của câu "với mọi $n$: $f(n+1)>f(n)$ hoặc $f(n+1)<f(n)$".
Nói ví dụ thế này: nếu câu như trên thì nó sẽ có th như vầy $f(3)>f(1)>f(2)$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 14-02-2013 - 12:18

Em chưa hiểu rõ hết ý nghĩa của câu "với mọi $n$: $f(n+1)>f(n)$ hoặc $f(n+1)<f(n)$".
Nói ví dụ thế này: nếu câu như trên thì nó sẽ có th như vầy $f(3)>f(1)>f(2)$.

Nếu như vậy thì anh có thể dự đoán 1 hàm $f$ nào đó thỏa bài toán được không :(

#8 ntuan5

ntuan5

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 17:20

$f(n)=n$, với $n$ lẻ.

#9 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 14-02-2013 - 19:14

$f(n)=n$, với $n$ lẻ.

Kết luận rất sai lầm khi điều kiền bài toán là $f(f(n))=n$ với mọi sô nguyên dương n

#10 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 19:32

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại cách nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 15/02 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#11 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 15-04-2013 - 20:29

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $

$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$

Mình thấy nên đổi đề bài là chứng minh tồn tại vô số hàm thỏa mãn sẽ tốt hơn :D.

Giả sử ta xác định được $f(1),f(2),...,f(k)$ thỏa mãn.

Cho $D_k=\left \{1,2,3,...,k,f(1),f(2),...,f(k)  \right \}$ và $S_k=\sum^k_{i=1} f(i)$

Cho $f(k+2)=\min(N^*\setminus \left \{D_k;k+1;k+2;k+3\right \})$ do $(k+1;k+2)=1$ ( Định lí đồng dư Trung Hoa )  nên luôn tồn tại $f(k+1) \in N^*\setminus D_k$ thỏa mãn:

$$\left\{\begin{matrix}
f(k+1) \equiv -S_k \pmod{k+1}\\
f(k+1) \equiv -S_k-f(x+2) \pmod{k+2}
\end{matrix}\right.$$

Với cách xác định như vậy thì hoàn toàn có thể lập được hàm $f$ thỏa mãn đề bài :)

Mà do $f(1)$ luôn xác định nên với mỗi $f(1)$ ta có thể lập được ít nhất 1 hàm $f$ thỏa mãn :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 16-04-2013 - 12:29

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh