Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng vị trí của O là không đổi sau khi một số hữu hạn bước.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

Giả sử có $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng. Có vòng tròn với bán kính $r$ và tâm $O$ trên mặt phẳng. Ít nhất một trong các điểm nằm trong vòng tròn. Chúng ta làm các hướng dẫn sau đây. Tại mỗi bước chúng ta di chuyển $O$ đến trọng tâm của các điểm trong vòng tròn. Chứng minh rằng vị trí của $O$ là không đổi sau khi một số hữu hạn bước.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-08-2016 - 16:24

1728

#2
JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết

Điều này là không thể vì giả sử có $4$ điểm $A,B,C,D$ với $A,B$ nằm trên $(O_1;r)$ và $C,D$ nằm trên $(O_2;r)$ sao cho $O_1$ là trung điểm $CD$,$O_2$ là trung điểm $AB$ và vị trí $O$ đầu tiên là ở $O_1$ thì $O$ chỉ cứ di chuyển mãi từ $O_1$ sang $O_2$ và ngược lại mà thôi



#3
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Gọi các tâm hình tròn theo thứ tự di chuyển là $O_1;O_2;...;O_k;...$. Gọi: 

-Số điểm nằm trong $(O_k;r)$, tổng bình phương khoảng cách từ $O_k, O_{k+1}$ đến các điểm đó lần lượt là $s_k, S_k, S'_k$.

-Số điểm nằm trong $(O_k;r)$ và nằm ngoài $(O_{k+1};r)$, tổng bình phương khoảng cách từ $O_{k+1}$ đến các điểm đó lần lượt là $a_k, A_k$.

-Số điểm nằm ngoài $(O_k;r)$ và nằm trong $(O_{k+1};r)$, tổng bình phương khoảng cách từ $O_{k+1}$ đến các điểm đó lần lượt là $b_k; B_k$.

Ta có:

-$s_k+b_k=s_{k+1}+a_k$.

-$S'_k+B_k=S_{k+1}+A_k$.

-Dựa vào vị trí tương đối của các điểm đối với $(O_{k+1};r)$, ta có $A_k\geq a_kr^2, B_k\leq b_kr^2$.

-Áp dụng Lagrange, ta dễ có $S'_k\leq S_k$.

Từ đây ta có $S_k-s_kr^2\geq S_{k+1}-s_{k+1}r^2$, dùng đơn biến ta dễ có với $k$ đủ lớn, $O_k\equiv O_{k+1}\equiv O_{k+2}\equiv ...$ hay vị trí của $O$ không đổi.

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 02-09-2016 - 08:15





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh