Chủ đề này có 31 trả lời

[namdung]

Ngày 14/10 tới đây, tôi sẽ có 1 bài giảng nhỏ về phương trình hàm trên N (cũng như trên Z, Q và một số tập rời rạc khác). Để giải các phương trình hàm trên N, cần hiểu rõ cấu trúc của N, một số tính chất quan trọng như tính sắp thứ tự tốt, có phần tử kế tiếp, sự phân tích ra thừa số. Trong việc xây dựng một số hàm có tính chất đặc biệt, hệ đếm cơ số cũng đóng một vai trò quan trọng. Cuối cùng, hàm số dạng f(n) = [an] cũng có nhiều tính chất thú vị.

Sau đây là một số ví dụ minh họa

1. Cho f: N* --> [1, +oo) và
(i) f(2) = 2
(ii) f(mn) = f(m)f(n) với mọi m, n thuộc N*
(iii) f(m) < f(n) với mọi m < n
Chứng minh rằng f(n) = n với mọi n.

2. Cho f: N* --> N* là hàm số tăng nghiêm ngặt thỏa mãn điều kiện f(f(n)) = 3n với mọi n. Hãy tìm f(2001).

3. Tìm tất cả các hàm f: N --> N thỏa mãn điều kiện
(a) f(m^2+n^2) = (f(m))^2 + (f(n))^2 với mọi m, n thuộc N
(b) f(1) > 0

4. Tìm tất cả các hàm h: N* --> N* thỏa mãn điều kiện
h(h(n)) + h(n+1) = n+2 với mọi n thuộc N*

Các bạn có thể thảo luận các bài toán này, đồng thời cung cấp thêm cho chúng tôi những ví dụ, bài tập khác để minh họa cho những cách giải phương trình hàm trên N.

[hienquangtrung]

Em up len loi giai thuoc dang cua bai tap 2. Luoi go truc tiep tren dien dan nen danh gui file word. Bài 1 có tính chất của hàm nhân tính trên tập số tự nhien ket hoi voi don dieu tang

File gửi kèm

•  bai_2.doc   192K   261 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hienquangtrung: 02-10-2007 - 22:45

[tanpham90]

Em xin góp 1 bài !
Cho $f: \mathbb{Z}^ + \rightarrow\mathbb{Z}^ +$ thỏa mãn:
a) $f(1) = 1$
b) $3f(n).f(2n + 1) = f(2n).[1 + 3f(n)]$
c) $f(2n) < 6f(n)$
Tìm các số nguyên $k,m$ sao cho $f(k) + f(m) = 293$

[MrMATH]

Về bài toán 2, em thấy nên giảng cùng với hai bài toán sau

1. Chứng minh rằng tồn tại hàm f: N* -> N* thỏa mãn f(f(n)) = n^2 với mọi n

2. Chứng minh rằng tồn tại hàm f: N* -> N* thỏa mãn f(f(....f(n)...)) = 2n (hợp 2007 lần của n) với mọi n

[hienquangtrung]

Nguồn gốc: Bài 1 thay Dũng nêu la trong Canada mathematical Olympiad 1969. Còn bài tập Tanpham90 lay trong China Olympiad 1995

[Niels Henrik Abel]

Nếu kết hợp bài luôn với nhóm nh~ hàm số học thì hay ,đặc biệt là nh~ hàm số học nhân tính . Công thức nghịch đảo Mobius em nghĩ rằng sẽ giúp ích cho việc giải các bài tìm hàm số học

[namdung]

Bài toán của hienquangtrung cũng rất thú vị. Các bạn tiếp tục bổ sung các dạng phương trỉnh hàm trên N, trên Z, trên Q khác nữa nhé. Tôi sẽ tổng kết để thành bài giảng cho seminar tới.

[hienquangtrung]

Đề dự tuyển IMO 1996 Cho hàm số $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ được xác định như sau:
1) $f(1)=1$
2) $f(n)=f\left(\left[\dfrac{n}{2}\right]\right)+(-1)^{\dfrac{n(n+1)}{2}$
a) Tìm GTLN và GTNN của f(n) với $n\leq 1996$ và tìm tất cả các số $n\leq 1996$ sao cho GTLN và GTNN đạt được.
b) Có bao nhiêu giá trị $n\leq 1996$ để f(n)=0

[seudaudo]

1)Tìm tất cả $f: \mathbb{Z} \rightarrow\mathbb{Z}$thỏa mãn:$ f(x^{3} + y^{3} + z^{3} ) = f(x)^{3} + f(y)^{3}+ f(z)^{3}$
Đây là bài TST VN năm 2005

2) Tìm tất cả hàm :$f: \mathbb{Q}^ + \rightarrow\mathbb{Q}^ +$ thỏa mãn : $ f(x) + f(y) + 2xyf(xy) = \dfrac{f(xy)}{f(x+y)} $
Đây là bài TST Trung Quốc năm 2007

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi seudaudo: 09-10-2007 - 10:34

[MrMATH]

Hi, thay đổi 1 chút trong cách diễn đạt, có thể giải bài toán tổng quát

Tìm tất cả các hàm f : N* -> N* thỏa mãn f(f...f(n)...) = q.n với mọi n, trong đó vế trái là hợp p lần của f, q là số nguyên tố tùy ý

Các giải viết chi tiết thì hơi dài và loằng ngoằng

Ko biết nếu bỏ điều kiện q nguyên tố hoặc mở rộng thành f(f...f(n)...) = q.n^k thì có gì khác biệt không

[namdung]

Bài TST Việt Nam 2005 thực chất là 1 bài rất quen thuộc mà nhiều nước đã lấy làm đề thi những năm trước đó (chẳng hạn Pháp). Vì thế năm đó mới có nhiều chuyện xảy ra. Lời giải khá độc đạo nhưng ý tưởng không mới.

[Mr Stoke]

Em đọc đâu đó trên MM hay AMM trong phần P&S thì tác giả bài này là Titu Andresscu, năm 2000. Lời giải cũng như vậy.

[chien than]

1)Tìm tất cả $f: \mathbb{Z} \rightarrow\mathbb{Z}$thỏa mãn:$ f(x^{3} + y^{3} + z^{3} ) = f(x)^{3} + f(y)^{3}+ f(z)^{3}$
Đây là bài TST VN năm 2005

Em mới học Pt hàm nên làm thử,sai thui:D
Cho $x=y=z=0$=>$f(0)=3[f(0)]^3$=>$f(0)=0$
$y=-x;z=0$=>$f( - x)^3 = - f(x)^3$
cho $(x,y,z) = (1,0,0)$=> $f(1) = f(1)^3$
=>$f(1) = 0, 1$ hay $- 1$
Cho $(x,y,z) = (1,1,0)$ $;(x,y,z) = (1,1,1) $=> $f(2) = 2f(1)$ và $f(3) = 3f(1)$
Ta sẽ chứng minh$ f(x) = xf(1)$
Sử dụng bổ đề
Với $x \ge 4;x^3 $có thể viết dưới dạng tổng lập phương của 5 số nhỏ hơn nó
Bổ đề này đúng vì $(2k+1)^3=(2k-1)^3+(k+1)^4+(4-k)^3+(-5)^3+(-1)^3$
Đến đây,ta sẽ quy nạp$ f(x)=f(1)x$
Điều phải chứng minh đúng với $x=4;5;6;7$
Giả sử nó đúng với mọi $k \leq n$,Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n$
Dễ thấy $n^3=n_1^2+...+n_5^3$ với $n_i<n$
Khi đó $f(n^3)-f(n_1)^3+f(n_2)^3=f(n_3)^3+f(n_4)^3+(n_5)^3$
=>$f(x)^3=(x_1^3+..+x_5^3)f(1)^3=(xf(1))^3$
=>$f(x)=xf(1)$
=>Có 3 hàm thỏa mãn $f(x)=0;f(x)=x;f(x)=-x$

[namdung]

Em mới học Pt hàm nên làm thử,sai thui:D
Cho $x=y=z=0$=>$f(0)=3[f(0)]^3$=>$f(0)=0$
$y=-x;z=0$=>$f( - x)^3 = - f(x)^3$
cho $(x,y,z) = (1,0,0)$=> $f(1) = f(1)^3$
=>$f(1) = 0, 1$ hay $- 1$
Cho $(x,y,z) = (1,1,0)$ $;(x,y,z) = (1,1,1) $=> $f(2) = 2f(1)$ và $f(3) = 3f(1)$
Ta sẽ chứng minh$ f(x) = xf(1)$
Sử dụng bổ đề
Với $x \ge 4;x^3 $có thể viết dưới dạng tổng lập phương của 5 số nhỏ hơn nó
Bổ đề này đúng vì $(2k+1)^3=(2k-1)^3+(k+1)^4+(4-k)^3+(-5)^3+(-1)^3$
Đến đây,ta sẽ quy nạp$ f(x)=f(1)x$
Điều phải chứng minh đúng với $x=4;5;6;7$
Giả sử nó đúng với mọi $k \leq n$,Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n$
Dễ thấy $n^3=n_1^2+...+n_5^3$ với $n_i<n$
Khi đó $f(n^3)-f(n_1)^3+f(n_2)^3=f(n_3)^3+f(n_4)^3+(n_5)^3$
=>$f(x)^3=(x_1^3+..+x_5^3)f(1)^3=(xf(1))^3$
=>$f(x)=xf(1)$
=>Có 3 hàm thỏa mãn $f(x)=0;f(x)=x;f(x)=-x$

OK. Bước đầu thế là quá ngon rồi. Chúc mừng em.

[namdung]

Đây là bài của Cao Minh Quang về BDT Nesbit. Bài này sẽ được giảng cùng với bài PTH vào sáng mai.

Namdung

File gửi kèm

•  Noi_ro_them_ve_bat_dang_thuc_Nesbitt.pdf   187.02K   514 Số lần tải

[namdung]

Còn đây là bài của tôi và Dương Bửu Lộc về phương trình hàm (sẽ còn update sau bài giảng)

Ngày mai tôi có việc bận nên chỉ tham gia phần đầu và phần cuối. Các thầy Cao Minh Quang và Dương Bửu Lộc sẽ giảng chính.

File này tôi dùng Microsoft Office Document Imaging (MDI).

(Xin lỗi, hình như diễn đàn không cho gửi file MDI)

[NangLuong]

Em đã thử set để upload được rồi đấy. Thầy thử làm lại xem nhé.

[namdung]

Tôi đã thử nhưng vẫn không được. Đuôi file là *.mdi

[MrMATH]

Thầy nén thành file *.zip là có thể up lên diễn đàn dễ dàng

[PrT]

Đây là một bài toán mà em từng gặp.
1)Cho hàm $f(n):N\to N $
$f(2)=2$
$f(mn)=f(m)f(n),\forall m,n\in N$
$f(n)$ tăng thực sự trên N
2)Đề tương tự trên nhưng có đk $f(mn)=f(m)f(n),\forall m,n\in N$ và $\gcd(m,n)=1$
Nhìn có vẻ khác nhau,theo cách hiểu thông thường thì rõ ràng bài 2 khó hơn ,nhưng thực ra là 1 .
Ta nhận xét rất đơn giản :
$m>n$
$f(n)=n,f(m)=m$ thì $f(k)=k,\forall k\in [n,m]$
rõ ràng như thế biết 2 giá trị của $f(n)$ là có thể tìm được $f(n),\forall n$.
và như thế 2 bài là 1.
PP2:phưong pháp đơn ánh và phương pháp sai phân .
Mình sẽ quay lại sau vài ngày hi vọng sẽ có reply.