Đến nội dung


Hình ảnh

CMR : tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$ đến đường thẳng $d$ bất kỳ qua $O$ không đổi


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 trung_phuong

trung_phuong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Đã gửi 02-11-2007 - 23:00

Chứng minh rằng : tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$ đến đường thẳng $d$ bất kỳ qua $O$ không đổi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-01-2013 - 20:40

Thời gian là vàng !

#2 tuanbi97

tuanbi97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2013 - 00:30

Mình xin giải:
Giả sử $A$ nằm khác phía $B,C$ đối với dt $d$
Ta vẽ: $AN$ vuông góc $d$ và cắt $(O)$ ở $Z$
$BM$ vuông góc $d$ và cắt $(O)$ ở $X$
$CP$ vuông góc $d$ và cắt $(O)$ ở $Y$
đặt $BM=y=>BX=2y$
$AN=x=>AZ=2x$
$CP=z=>CY=2z$
Gọi giao điểm $CX$ và $BY$ là $I$ dễ dàng chứng minh được : $M,N,P,I$ thẳng hàng
ta có $\Delta{XBI}$ cân tại $I$ mà $BXC=60 =>\Delta{XBI}$ đều
Đặt $BX=2y=XI=IB=a_2$
CMTT $\Delta{ICY}$ đều Đặt $CY=2z=CI=YI=a_1$
** chứng minh $AZ=a_1+a_2=2x$
Ta có: $BX//AZ=> ZX=AB=AC=>...=> AX//CZ=> CX=AZ=a_1+a_2$ (dễ nhận ra)
đẳng thức cần tìm bằng $a_1^2+a_2^2+(a_1+a_2)^2= 4R^2(sin^2 \widehat{BCZ} + sin^2 \widehat{XCB} + sin^2 \widehat{ACZ})$
Đặt $\widehat{BCZ}=t$
Ta có $sin^2\widehat{BCZ}+sin^2\widehat{XCB}+sin^2\widehat{ACZ}$
$=sin^2\widehat{BCZ}+sin^2(\widehat{XCZ}-\widehat{BCZ})+sin^2(\widehat{XCZ}+\widehat{XCA})$
$=sin^2t+sin^2(60-t)+sin^2(60+t)$ (chứng minh được $\widehat{BCZ}=\widehat{XCA}$)
với biểu thức vừa biến đổi ra: Ta hoàn toàn chứng minh được đó là một hằng số bằng những phép biến đổi thông thường $sin^2t+sin^2(60-t)+sin^2(60+t)=\frac{3}{2}$
Vậy $a_1^2+a_2^2+(a_1+a_2)^2= 6R^2$
$=>x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}R^2$ (đpcm)

hình đây các bạn :)

Hình gửi kèm

  • PSW.JPG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-01-2013 - 22:27


#3 khanhhx

khanhhx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2013 - 00:57

Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ có $Ox$ trùng với $AB$, gốc tọa độ là giao của $AO$ và $BC$,gọi độ dài cạnh tam giác là $a$, pt đường thẳng $d$ là $y=tx+\frac{a}{2\sqrt{3}}$ ta có: $A(0;\frac{a\sqrt{3}}{2});B(\frac{-a}{2};0); C(\frac{a}{2};0).=>$d(A/d)^2+d(B/d)^2+d(C/d)^2=$\frac{((\frac{-a\sqrt{3}}{2}+\frac{a}{2\sqrt{3}})^2+(t\frac{-a}{2}+\frac{a}{2\sqrt{3}})^2+(t\frac{a}{2}+\frac{a}{2\sqrt{3}})^2)}{t^2+1}$$=\frac{\frac{a^2}{2}(t^2+1)}{t^2+1}=\frac{a^2}{2}$ không đổi (đpcm)

Cách 3: Gọi $H, I, K$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A, B, C$ xuống đường thẳng $d$, gọi $AH,BI,CK$ lần lượt cắt $(O)$ tai điểm thứ 2$D, E, F$. Dễ thấy $DBEC$, $DBFC$ la hình thang cân =>$BE=DC, CF= DB$ => $AH^2+BI^2+CK^2= \frac{1}{4}(DA^2+BE^2+CF^2)=\frac{1}{4}(DA^2+DB^2+DC^2)=\frac{1}{4}.6R^2=\frac{3}{2}R^2$ (ko đổi)

Mở rộng: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$. CMR tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của hìng vuông đến đường thẳng $d$ bất kỳ qua $O$ không đổi

CM: Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là gốc tọa độ, $AB$//$Oy$, $AC$//$Ox$, gọi độ dài cạnh hình vuông là 2a. Ta có $A(-a;a);B(-a;-a);C(a;-a);D(a;a)$. => $d(A/d)^2+d(B/d)^2+d(C/d)^2+d(D/d)^2=\frac{(ta+a)^2+(a-ta)^2+(ta+a)^2+(ta-a)^2}{t^2+1}=2a^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-01-2013 - 22:26


#4 quagn1998

quagn1998

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Biên Hòa - Đồng Nai

Đã gửi 14-01-2013 - 20:52

CM: Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là gốc tọa độ, $AB$//$Oy$, $AC$//$Ox$, gọi độ dài cạnh hình vuông là 2a. Ta có $A(-a;a);B(-a;-a);C(a;-a);D(a;a)$. => $d(A/d)^2+d(B/d)^2+d(C/d)^2+d(D/d)^2=\frac{(ta+a)^2+(a-ta)^2+(ta+a)^2+(ta-a)^2}{t^2+1}=2a^2$

Anh giải thích rõ hơn được không: $d(A/d)^2+d(B/d)^2+d(C/d)^2+d(D/d)^2=\frac{(ta+a)^2+(a-ta)^2+(ta+a)^2+(ta-a)^2}{t^2+1}=2a^2$ không hiều: t là gì d(c/d)^2 để làm gì?
Cám ơn nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quagn1998: 14-01-2013 - 20:53


#5 khanhhx

khanhhx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-01-2013 - 09:21

Anh giải thích rõ hơn được không: $d(A/d)^2+d(B/d)^2+d(C/d)^2+d(D/d)^2=\frac{(ta+a)^2+(a-ta)^2+(ta+a)^2+(ta-a)^2}{t^2+1}=2a^2$ không hiều: t là gì d(c/d)^2 để làm gì?
Cám ơn nhiều.

À :lol: phương trình đường thẳng d là $y=t.x$, còn $d(C/d)^2$ là bình phương khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $d$

#6 tuanbi97

tuanbi97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2013 - 19:08

Mở rộng 1:
Theo như đề bài thì mình cũng có đặt ra 1 câu hỏi: Lẽ nào với mọi đa giác đều $n$ đỉnh đều có tổng bình phương các đường cao kẻ từ các đỉnh xuống đường thẳng bất kì qua tâm đều là hẳng số ?????
Sau khi tìm hiểu thì, kết quả là:
Với $n=3$($n$ là số đỉnh) các đỉnh là $A_1,A_2,A_3$, chiếu $A_i$ xuống $d$ thành $A_i'$
Đặt $R=1$ gọi $x$ là góc tạo bởi $OA_1$ và $d$
$\sum_{i=1}^{3}A_i'O^2=cos^2x+cos^2(x+\frac{2\pi}{3})+cos^2(x+\frac{4\pi}{3})=\frac{3}{2}$
Ta có $\sum_{i=1}^{3}A_iA_i'^2=3R^2-\sum_{i=1}^{3}A_i'O^2$
=>$\sum_{i=1}^{3}A_iA_i'^2$ không đổi
Với trường hợp tổng quát:
$\sum_{i=1}^{n}A_i'O^2=\sum_{k=0}^{n-1}cos^2(x+k\frac{2\pi}{n})$ cũng 0 phụ thuộc vào $x$ (các bạn tự kiểm tra)
vậy $\sum_{i=1}^{n}A_iA_i'^2$ không đổi
Lí do: các hình chiếu của $OA_i (i=1,2,3,...,n)$ xuống d không phụ thuộc vào $d$ vào $OA_i$ bằng nhau tạo với $d$ các góc lập thành cấp số cộng công sai $\frac{2\pi}{n}$
Mở rộng 2:
Vậy trong không gian? Tứ diện đều cũng mang tính chất tương tự? Mình cũng 0 bik có đúng không các bạn nghĩ thử xem?

#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:14

Chấm điểm:
tuanbi97: 10 + 5 = 15 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh