$a,b,c,d >0. a+b+c+d=4$. CMR :
$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$
$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$
Bắt đầu bởi chien than, 03-11-2007 - 17:09
#1
Đã gửi 03-11-2007 - 17:09
#2
Đã gửi 01-06-2012 - 20:08
Bàì giải$a,b,c,d >0. a+b+c+d=4$. CMR :
$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$
Ta giả sử $a \ge b \ge c \ge d$
Thế thì
\[f(a,b,c,d) - f(\frac{{a + c}}{2},b,\frac{{a + c}}{2},d) = \left( {\frac{3}{2} - bd} \right){\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\]
\[4 = a + b + c + d \ge 2(b + d) \ge 4\sqrt {bd} \Rightarrow 1 \ge bd\]
Vậy theo định lý $SMV$ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi mà $a=b=c$
Bài toán bây giờ dã khá đơn giản vì chỉ là BĐT 1 biến
- hoangmanhquan yêu thích
#3
Đã gửi 16-01-2022 - 10:34
Cách của mình không biết có khác cách của anh alex_hoang không ạ.
G/s $a \geq b \geq c \geq d$ .
Đặt a+b = x, c+d = y
Nếu $ab\ge \frac{3}{2}$ thì $3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd\ge \frac{3x^2}{2}+3y^2=\frac{(x-2y)^2}{2}+(x+y)^2\ge 16$
còn nếu $ \frac{3}{2}\ge ab$ thì
$3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd-16$ $=\frac{1}{2} (c-d)^2(3-2ab)+\frac{1}{4}(a-b)^2(6-y^2)+\frac{1}{4}(x-2)^2(x^2-4x+8)\ge 0$
Vậy ta có đpcm.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh