Đến nội dung

Hình ảnh

$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
chien than

chien than

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
$a,b,c,d >0. a+b+c+d=4$. CMR :
$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$


#2
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

$a,b,c,d >0. a+b+c+d=4$. CMR :
$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$

Bàì giải
Ta giả sử $a \ge b \ge c \ge d$
Thế thì
\[f(a,b,c,d) - f(\frac{{a + c}}{2},b,\frac{{a + c}}{2},d) = \left( {\frac{3}{2} - bd} \right){\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\]
\[4 = a + b + c + d \ge 2(b + d) \ge 4\sqrt {bd} \Rightarrow 1 \ge bd\]
Vậy theo định lý $SMV$ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi mà $a=b=c$
Bài toán bây giờ dã khá đơn giản vì chỉ là BĐT 1 biến :)
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#3
huhuhuhu

huhuhuhu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Cách của mình không biết có khác cách của anh alex_hoang không ạ. 

G/s $a \geq b \geq c \geq d$ . 

Đặt a+b = x, c+d = y 

Nếu $ab\ge \frac{3}{2}$ thì $3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd\ge \frac{3x^2}{2}+3y^2=\frac{(x-2y)^2}{2}+(x+y)^2\ge 16$

còn nếu $ \frac{3}{2}\ge ab$ thì 

$3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd-16$ $=\frac{1}{2} (c-d)^2(3-2ab)+\frac{1}{4}(a-b)^2(6-y^2)+\frac{1}{4}(x-2)^2(x^2-4x+8)\ge 0$

Vậy ta có đpcm. 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh