Chủ đề này có 10 trả lời

[toanhoc]

Lò mò trên K theory preprint thấy có 3 bài sau của giáo sư Diệp. Giáo sư định nghĩa noncommutative CW complexes, CW approximation, Serre fibration, Serre and Leray spectral sequence, thấy hay hay, mang classical AT vào noncommutative geometry, tiếc rằng tôi mù tịt noncommutative geometry nên không hiểu ý nghĩa mấy bài này. Các cao thủ có bình luận gì không ?
http://www.math.uiuc.../0853/nccw1.pdf
http://www.math.uiuc.../0857/nccw2.pdf
http://www.math.uiuc.../0858/nccw3.pdf

[toanhoc]

Một câu hỏi cụ thể hơn. CW complexes chỉ capture được các topological properties, không capture được các analytic structures, trong khi trong operator theory, cái analytic structures mới là quan trọng. Vậy lợi ích của việc giới thiệu các khái niệm này là gì ? Tác dụng của nó đến đâu ? Hay là có cách chuyển các thông tin analytic structures về các thông tin topology (kiểu như K theory trên ring các hàm ?). Có thể tôi hiểu sai hết về mấy thứ này vì kiến thức bên giải tích của tôi khá tệ. Có bạn nào giúp tôi làm rõ mấy nghi vấn này không ?

[mathman145]

Ai quan tâm thì 9h sáng ngày 22 tại Viện Toán, thầy có một báo cáo về vấn đề này, đưa ra khái niệm phạm trù các CW-phức không giao hoán và chứng minh định lý xấp xỉ trên đó.

[toanhoc]

Tiếc là tôi không ở Hà Nội nên không đi dự được. Bạn mathman145 đi dự rồi về kể lại tôi nghe với. Còn nữa, tôi biết prof. Schochet là người làm nhiều về hướng đưa AT vào operator algebra vì ông xuất thân từ AT. Tôi thấy prof. Diệp có tham khảo mấy bài cơ bản và có đề cập đến email discussion với prof. Schochet. Có sự liên quan gì giữa work của 2 người ? 2 người từng có bài chung trước đây thì phải. Bạn hỏi gs Diệp hộ tôi luôn thể. Nhiều người làm bên AT tỏ ý nghi ngờ tính hiệu quả của AT trong operator algebra nên tôi tò mò xem ý kiến người trong cuộc thế nào.
Cám ơn

[Kakalotta]

Một câu hỏi cụ thể hơn. CW complexes chỉ capture được các topological properties, không capture được các analytic structures, trong khi trong operator theory, cái analytic structures mới là quan trọng. Vậy lợi ích của việc giới thiệu các khái niệm này là gì ? Tác dụng của nó đến đâu ? Hay là có cách chuyển các thông tin analytic structures về các thông tin topology (kiểu như K theory trên ring các hàm ?). Có thể tôi hiểu sai hết về mấy thứ này vì kiến thức bên giải tích của tôi khá tệ. Có bạn nào giúp tôi làm rõ mấy nghi vấn này không ?

Motivation của vấn đề là như sau.
Theo Gelfand theory, phạm trù các không gian compact T2 tương đương hàm tử với phạm trù các C*-đại số giao hoán. Do đó, bằng việc sử dụng các kĩ thuật về đại số toán tử nói chung có thể extract được tất cả các tính chất topo.
K lý thuyết topo là một ví dụ cơ bản.....

Tuy nhiên, vấn đề nảy sinh ra, có những C*-đại số không giao hoán và có những không gian tôp mà không T2 xuát hiện trong lý thuyết biểu diễn, vật lý toán, hình học poisson,...và ta không biết cách tính các bất biến đồng điều của nó thế nào với các tool của topo đại số cổ điển. Đối với topo đại số, người ta đưa nó về các CW complex, sau đó tính tay (cách làm này quá thủ công). Đối với C*-đại số, người ta cũng tim cách làm như vậy, xấp xỉ nó bằng các đối tượng tương tự với các CW complex.\
Tôi nhìn qua thì thấy trong paper này, tác giả cũng ghép các CW complex như trong topo đại số cổ điển, tuy nhiên, cái khác nhau ở đây là trong các bước, để nó compatible với noncommutivity, các đại số hàm trên các CW complex được take tensor với các đại số ma trận hữu hạn chiều. Theo quan điểm của lý thuyết biểu diễn, cũng như topo đại số. lý thuyết phổ của chúng nó không đổi, because of the well-known Morita equivalence, kéo theo bất biến đồng điều.

Tiếp theo là việc modify các công cụ topo đại số để nó work với đại số toán tử như spectral sequence, đồng điều Cyclic.... cho phạm trù các CW complex này.Cái đoạn tính HP của quantum group và đưa về cohomology của torus thì tôi cũng chưa đọc vì nó refer đến một bài khác. Nói chung thì ý tưởng là sử dụng lý thuyết biểu diễn để vất đi các thằng ứng với root, do nó rut gọn về đại số các toán tử compact... nên phần còn lại là torus với tác động của nhóm weyl.
Nói chung thì cái này nó hơi dài, nên nói hơi mất việc và cũng mới chỉ nhìn qua, skip all the detail.
Câu hỏi của bạn gì đó, tôi trả lời ngắn gọn và mù mịt, tính chất giải tích ở đây strongly relate với các tính chất đại số, và các tính chất đại số của đại số toán tử thi capture các tinh chất topo của không gian.

[Alexi Laiho]

Tôi nhìn qua thì thấy trong paper này, tác giả cũng ghép các CW complex như trong topo đại số cổ điển, tuy nhiên, cái khác nhau ở đây là trong các bước, để nó compatible với noncommutivity, các đại số hàm trên các CW complex được take tensor với các đại số ma trận hữu hạn chiều. Theo quan điểm của lý thuyết biểu diễn, cũng như topo đại số. lý thuyết phổ của chúng nó không đổi, because of the well-known Morita equivalence, kéo theo bất biến đồng điều.

Tôi thì không rõ về noncommutative, nhưng cũng từng tham gia Seminar về Brauer Groups và Artin Stakcs có Non-abelian (mặc dù không phải như non-commutative), họ cũng dùng Idea là take tensor product với Đại số ma trận hữu hạn chiều, rồi đưa ra 1 quan hệ tương đương thông qua các ma trận đồng dạng after tensored. Phải chăng đây là quan điểm chung của nhiều ngành?

[toanhoc]

Cám ơn KK nhiều. Bài của bạn clarify được nhiều điểm cho tôi.

[Kakalotta]

Artin stack cũng là một ý hay để deal với đại số toán tử. Motivation của nó là Morita equivalence của các Groupoid. Tôi sẽ dự tính mở một topic về vấn đề này, và ứng dụng của các ý tuởng của hình học đại số grothendieck trong vật lý toán.

[tranminhlong]

Artin stack cũng là một ý hay để deal với đại số toán tử. Motivation của nó là Morita equivalence của các Groupoid. Tôi sẽ dự tính mở một topic về vấn đề này, và ứng dụng của các ý tuởng của hình học đại số grothendieck trong vật lý toán.

Được đó KK
Mở càng sớm càng tốt.
Mở đầu bằng vài chiêu thức đơn giản, sau đó biểu diễn chưởng pháp

[Alexi Laiho]

http://diendantoanho...showtopic=35944

Vô đi. KK giúp mọi người 1 ít về Lie groupoid / Hopf algebroid đi.

[mathman145]

Tiếc quá anh KK và toanhoc không ở VN để đến nghe buổi seminar đó. Sau đây là vài chiến lợi phẩm nghe được từ hôm đó mạn phép được post lên đây mặc dù không hiểu lắm:
Motivation: Xuất phát điểm là việc nghiên cứu dãy mở rộng bởi các idean 2 phía đóng của một C*-đại số A:

$\varepsilon _0 = \{ 0\} \subset \varepsilon _1 \subset ... \subset \varepsilon _\alpha = A$

sao cho

$\varepsilon _{t + 1} /\varepsilon _t
$
có vết liên tục. Trong trường hợp tổng quát sẽ xuất hiện bất biến Dixmier (???) và nói chung rất khó kiểm soát. Vì vậy ý tưởng của Pro Diệp là làm cho
$
\varepsilon _{t + 1} /\varepsilon _t
$
có cấu trúc giống như cấu trúc của các CW-phức trong topo đại số. Tác giả đã suy nghĩ vấn đề này từ khá lâu và đã có vài thử nghiệm trong việc định nghĩa các NC CW-phức từ trước đó nhưng chưa được do chưa tương thích với ý nghĩa của nó trong vật lý. Và kết quả này là ưng ý nhất và sẽ được tác giả báo cáo trong một workshop NCG tới đây ở Nhật.
Method: Ý tưởng được lấy từ cách xây dựng các CW-phức tương đối của topo đại số, tức là xuất phát từ các ngăn 0 chiều, lần lượt dán vào các ngăn có số chiều cao hơn. Khó khăn nằm ở chỗ thế nào là "dán" và "dán" như thế nào. Tác giả đã giải quyết vấn đề này bằng cách dùng các pullback (các đối tượng giờ là các C*-đại số).
Làm được điều này tác giả đã chứng minh được định lý xấp xỉ trên khái niệm NC CW-phức mới và điều này có ý nghĩa gì đó trong vật lý toán.
Trao đổi đôi chút, nếu có sai sót mong thông cảm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathman145: 23-11-2007 - 19:56