Chủ đề này có 3 trả lời

[toanA37]

Cho $A = (a_{ij}) \in M_{n}\( R \), a_{ii} > 0, a_{ij} < 0 \forall i \neq j, \sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij} > 0 \forall j $.
CMR $ detA > 0$

[tanlsth]

Nhận xét nếu $ e $ là một trị riêng của $ A $ thì $ |e-a_{ii}| \leq \sum\limits_{i \neq j}^{} |a_{ij}| $
Do đó các trị riêng thực của $ A $ đều dương
Ta xét đa thức $ det(A-tI) $ có các nghiệm thực đều dương
Nếu $ n \vdots 2 $ thì đa thức này có chẵn nghiệm thực và nhận giá trị dương với $ t $ tiến đến vô cùng suy ra nhận giá trị dương tại $ 0 $ hay $ detA>0 $
Nếu $ n \no \vdots 2 $ thì nó nhận giá trị âm khi $ t $ tiến tới vô cùng và có lẻ nghiệm thực suy ra nhận giá trị dương tại $ 0 $
Bài toán được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 03-01-2008 - 18:15

[toanA37]

[quote name='tanlsth' date='Jan 3 2008, 11:28 AM' post='176238']
Mấu chốt của bài này đúng là nếu $ e $ là một trị riêng của $ A $ thì $ |e-a_{ii}| \leq \sum\limits_{i \neq j}^{} |a_{ij}| $
Đây là một kết quả tương đối thú vị và có nhiều ứng dụng.
Chúng ta có thể chứng minh được tất cả các giá trị riêng thực của A đều dương. Mặt khác DetA bằng tích các giá trị riêng nên cũng dương.

[tanlsth]

Cái này thì đơn giản mà
Nếu $ \lambda $ là một trị riêng thì gọi $ x $ là vecto riêng tương ứng
Khi đó đặt $ |x_i|= max\{|x_j|\} $ suy ra $ |\lambda -a_{ii}|= |\sum\limits_{i \neq j}^{}\dfrac{a_{ij}x_j}{x_i}| \leq \sum\limits_{i \neq j }^{}|a_{ij}| $
Từ đó có điều chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 04-01-2008 - 16:55