Cho $\triangle \text{ABC}$.
Tìm $\min$ và $\max$ của: $\text{F} = \text{sin A}^{n}\text{sin B}^{n+1}\text{sin C}^{2n+1}$.
Nhìn mã Latex
\text{F} = \text{sin A}^{n}\text{sin B}^{n+1}\text{sin C}^{2n+1}
thì chắc ý tác giả thế này : $F=\sin^n A\sin^{n+1}B\sin^{2n+1}C$ vì nếu $F=\sin (A^n)\sin(B^{n+1})\sin(C^{2n+1})$ thì việc tìm cực trị gần như không thể bằng kiến thức sơ cấp.
Đề bài cũng không nói rõ $n$ nhận giá trị gì, ta tổng quát $n \in \mathbb{R}_+^*$
** Hiển nhiên với mọi $\Delta ABC$ thì $F=\sin^n A\sin^{n+1}B\sin^{2n+1}C>0$
$\lim_{A \to 0} F=0 $ do đó không tồn tại GTNN của $F$.
** $$\ln F= n\ln (\sin A)+(n+1)\ln(\sin B))+(2n+1) \ln (\sin C) $$
Xét $$f(x)=\ln (\sin x) \;\;, x \in (0;\pi) $$
$$f'(x)=\cot (x) \;\;\;, f''(x)=\dfrac{-1}{\sin^2 x}<0 \;\;, \forall x \in (0;\pi)$$
Với mọi $\Delta MNP$ , áp dụng bất đẳng thức tiếp tuyến ta có:
$$f(A) \le f'(M)(A-M)+f(M)$$
$$\Leftrightarrow \ln (\sin A) \le \cot M (A-M)+\ln (\sin M)$$
$$\Leftrightarrow \tan M \ln (\sin A) \le A-M+\tan M \ln (\sin M) $$
Tương tự cũng có :
$$\tan N \ln (\sin B) \le B-N+\tan N \ln (\sin N)$$
$$\tan P \ln (\sin C) \le C-P+\tan P \ln(\sin P) $$
Chọn tam giác $MNP$ sao cho :
$$\dfrac{\tan M}{n}=\dfrac{\tan N}{n+1}=\dfrac{\tan P}{2n+1} =t>0$$
Khi đó : $$\ln F=\dfrac{1}{t} (\tan M \ln (\sin A)+\tan N \ln (\sin B)+\tan P \ln (\sin C) $$
Lại có: $$\tan M +\tan N+\tan P=\tan M \tan N \tan P$$
$$\Rightarrow (4n+2)t=n(n+1)(2n+1)t^3 $$
$$\Leftrightarrow t=\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}$$
Suy ra : $$\tan M=\sqrt{\dfrac{2n}{n+1}} \;\;, \tan N=\sqrt{\dfrac{2(n+1)}{n}} \;\;, \tan P=(2n+1)\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}$$
Suy ra: $$\sin M=\sqrt{\dfrac{2n}{3n+1}} \;\;, \sin N=\sqrt{\dfrac{2(n+1)}{3n+1}} \;\;, \sin P=(2n+1)\sqrt{\dfrac{2}{9n^2+9n+2}}$$
Ta có: $$\ln F=\dfrac{1}{t} (\tan M \ln (\sin A)+\tan N \ln (\sin B)+\tan P \ln (\sin C) $$
$$\le \dfrac{1}{t}(\tan M \ln (\sin M)+\tan N \ln (\sin N)+\tan P \ln (\sin P))$$
$$ \le \ln\left(\left(\sqrt{\frac{2n}{3n+1}}\right)^n \left(\sqrt{\frac{2(n+1)}{3n+1}} \right)^{n+1} \left((2n+1)\sqrt{\frac{2}{9n^2+9n+2}} \right)^{2n+1} \right)$$
Vậy $$\max F=\left(\sqrt{\frac{2n}{3n+1}}\right)^n \left(\sqrt{\frac{2(n+1)}{3n+1}}\right)^{n+1} \left((2n+1)\sqrt{\frac{2}{9n^2+9n+2}}\right)^{2n+1}$$
xảy ra khi $A=M\;, B=N \;, C=P$ với $\Delta MNP$ đã được xác định trong bài giải.
P/s: Lời giải này cũng có thể giái quyết cho trường hợp tổng quát $F=\sin^n A \sin^m B \sin^p C $ với cách trình bày như nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 10-01-2013 - 15:22