Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm $\text{min, max :}$ $\text{F} = \sin^{n}\text{A}\sin^{n+1} \text{B}\sin^{2n+1} \text{C}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 tkhtn

tkhtn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Đến từ:ĐHKHTN-ĐHQGHN

Đã gửi 12-05-2005 - 08:56

Cho $\triangle \text{ABC}$.
Tìm $\min$ và $\max$ của : $\text{F} = \sin^{n}\text{A}\sin^{n+1} \text{B}\sin^{2n+1} \text{C}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 10-01-2013 - 19:25

Toán học muôn màu là bể khổ và cũng là thiên đường
Tùy thuộc vào việc người ta yêu hay ghét mà thôi.

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 11:54

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 10/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 14-02-2013 - 20:16

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 10-01-2013 - 15:20

Cho $\triangle \text{ABC}$.
Tìm $\min$ và $\max$ của: $\text{F} = \text{sin A}^{n}\text{sin B}^{n+1}\text{sin C}^{2n+1}$.


Nhìn mã Latex
\text{F} = \text{sin A}^{n}\text{sin B}^{n+1}\text{sin C}^{2n+1}
thì chắc ý tác giả thế này : $F=\sin^n A\sin^{n+1}B\sin^{2n+1}C$ vì nếu $F=\sin (A^n)\sin(B^{n+1})\sin(C^{2n+1})$ thì việc tìm cực trị gần như không thể bằng kiến thức sơ cấp.

Đề bài cũng không nói rõ $n$ nhận giá trị gì, ta tổng quát $n \in \mathbb{R}_+^*$

** Hiển nhiên với mọi $\Delta ABC$ thì $F=\sin^n A\sin^{n+1}B\sin^{2n+1}C>0$

$\lim_{A \to 0} F=0 $ do đó không tồn tại GTNN của $F$.

** $$\ln F= n\ln (\sin A)+(n+1)\ln(\sin B))+(2n+1) \ln (\sin C) $$

Xét $$f(x)=\ln (\sin x) \;\;, x \in (0;\pi) $$

$$f'(x)=\cot (x) \;\;\;, f''(x)=\dfrac{-1}{\sin^2 x}<0 \;\;, \forall x \in (0;\pi)$$

Với mọi $\Delta MNP$ , áp dụng bất đẳng thức tiếp tuyến ta có:

$$f(A) \le f'(M)(A-M)+f(M)$$

$$\Leftrightarrow \ln (\sin A) \le \cot M (A-M)+\ln (\sin M)$$

$$\Leftrightarrow \tan M \ln (\sin A) \le A-M+\tan M \ln (\sin M) $$

Tương tự cũng có :

$$\tan N \ln (\sin B) \le B-N+\tan N \ln (\sin N)$$
$$\tan P \ln (\sin C) \le C-P+\tan P \ln(\sin P) $$

Chọn tam giác $MNP$ sao cho :

$$\dfrac{\tan M}{n}=\dfrac{\tan N}{n+1}=\dfrac{\tan P}{2n+1} =t>0$$

Khi đó : $$\ln F=\dfrac{1}{t} (\tan M \ln (\sin A)+\tan N \ln (\sin B)+\tan P \ln (\sin C) $$

Lại có: $$\tan M +\tan N+\tan P=\tan M \tan N \tan P$$

$$\Rightarrow (4n+2)t=n(n+1)(2n+1)t^3 $$

$$\Leftrightarrow t=\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}$$

Suy ra : $$\tan M=\sqrt{\dfrac{2n}{n+1}} \;\;, \tan N=\sqrt{\dfrac{2(n+1)}{n}} \;\;, \tan P=(2n+1)\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}$$

Suy ra: $$\sin M=\sqrt{\dfrac{2n}{3n+1}} \;\;, \sin N=\sqrt{\dfrac{2(n+1)}{3n+1}} \;\;, \sin P=(2n+1)\sqrt{\dfrac{2}{9n^2+9n+2}}$$

Ta có: $$\ln F=\dfrac{1}{t} (\tan M \ln (\sin A)+\tan N \ln (\sin B)+\tan P \ln (\sin C) $$

$$\le \dfrac{1}{t}(\tan M \ln (\sin M)+\tan N \ln (\sin N)+\tan P \ln (\sin P))$$

$$ \le \ln\left(\left(\sqrt{\frac{2n}{3n+1}}\right)^n \left(\sqrt{\frac{2(n+1)}{3n+1}} \right)^{n+1} \left((2n+1)\sqrt{\frac{2}{9n^2+9n+2}} \right)^{2n+1} \right)$$

Vậy $$\max F=\left(\sqrt{\frac{2n}{3n+1}}\right)^n \left(\sqrt{\frac{2(n+1)}{3n+1}}\right)^{n+1} \left((2n+1)\sqrt{\frac{2}{9n^2+9n+2}}\right)^{2n+1}$$

xảy ra khi $A=M\;, B=N \;, C=P$ với $\Delta MNP$ đã được xác định trong bài giải.


P/s: Lời giải này cũng có thể giái quyết cho trường hợp tổng quát $F=\sin^n A \sin^m B \sin^p C $ với cách trình bày như nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 10-01-2013 - 15:22

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 17:06

Đề bài cũng không nói rõ $n$ nhận giá trị gì, ta tổng quát $n \in \mathbb{R}_+^*$

** Hiển nhiên với mọi $\Delta ABC$ thì $F=\sin^n A\sin^{n+1}B\sin^{2n+1}C>0$

$\lim_{A \to 0} F=0 $ do đó không tồn tại GTNN của $F$.

Đang định làm thì Đạt anh làm mất ùi ^^~ Ch0 em bắt bẻ tý, tam giác suy biến thì vẫn tồn tại Min=0 chứ anh :luoi:
Anh nghĩ sa0 về TH $n\leq 0$, nếu $n\leq -1$ thì dễ, làm hoàn toàn tương tự như trên rồi, còn $-1<n<0$ em nghĩ là khá khó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-01-2013 - 17:10

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:17

Chấm điểm: phudinhgioihan:50 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh