Chủ đề này có 3 trả lời

[lehoan]

Cho $A=\{x_1;x_2;...;x_n\}$ và không có một số số nào trong A có tổng bằng 0.
Chứng minh rằng có thể phân hoạch $\mathbb{N^*}$ thành hữu hạn tập hợp $A_1;A_2;..;A_{k}$ với $|A_i|=+\infty$ sao cho với bất kì $a_1;a_2;...;a_n$ cùng thuộc 1 tập $A_{i}$ nào đó thì
$\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}a_{i}$ khác 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-03-2013 - 14:13

[Mr Stoke]

Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=\{x_1;x_2;...;x_n\} và không có một số số nào trong A có tổng bằng 0.
Chứng minh rằng có thể phân hoạch N* thành hữu hạn tập hợp vô hạn sao cho với bất kì http://dientuvietnam...a_1;a_2;...;a_n cùng thuộc 1 tập nào đó thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limit_{i=1}^nx_ia_i khác 0

buồn cười thật í, hổng hiểu đề nói mô hết!

[lehoan]

Đề em ghi rõ thế mà (em có sửa rồi đấy)

[poset]

Cho $A=\{x_1;x_2;...;x_n\}$ và không có một số số nào trong A có tổng bằng 0.
Chứng minh rằng có thể phân hoạch $\mathbb{N^*}$ thành hữu hạn tập hợp $A_1;A_2;..;A_{k}$ với $|A_i|=+\infty$ sao cho với bất kì $a_1;a_2;...;a_n$ cùng thuộc 1 tập $A_{i}$ nào đó thì
$\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}a_{i}$ khác 0.

Tạm thời giả sử $x_i$ nguyên đi đã (cho nó hợp kiến thức)
Lưu ý nếu $v_p(a)<\infty$ với $a$ nguyên thì $a\neq 0$
Chọn số nguyên tố $p>\sum_{i=1}^{n}\left | x_i \right |$, phân hoạch tập các số nguyên dương thành các tập vô hạn $A_m;1\leq m\leq p-1$ sao cho nếu $a'=\frac{a}{p^{v_p(a)}}\equiv m (mod p)\Leftrightarrow a\in A_m$
Giả sử $a_1,a_2,...,a_n\in A_m$, gọi $B_j$ là tập các $a_i$ sao cho $v_p(a_i)=j$, ta có:
$\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=\sum_{B_j\neq \varnothing }\sum_{a_i\in B_j}a_ix_i=\sum_{B_j\neq \varnothing}p^j\sum_{a_i\in B_j}\frac{a_i}{p^j}x_i$. Đặt $c_j= \sum_{a_i\in B_j}\frac{a_i}{p^j}x_i$, vì $a_i\in A_m$ nên theo cách phân hoạch ta có:
$c_i\equiv \sum_{a_i\in B_j}\frac{a_i}{p^j}x_i\equiv \sum_{a_i\in B_j}mx_i\equiv m\sum_{a_i\in B_j}x_i (mod p)$
Với $B_j\neq \varnothing$, theo giả thiết đề bài $\sum_{a_i\in B_j}x_i\neq 0$ và theo cách chọn $p$ ta có: $\left | \sum_{a_i\in B_j}x_i \right |\leq \sum_{a_i\in B_j}\left | x_i \right |\leq \sum_{i=1}^{n}\left | x_i \right |< p$, do đó $\sum_{a_i\in B_j}x_i\not\equiv 0 (modp)\Rightarrow c_j\equiv m\sum_{a_i\in B_j}x_i\not\equiv 0 (modp)$
Vậy $v_p\left ( \sum_{i=1}^{n}a_ix_i \right )= v_p(\sum_{B_j\neq \varnothing }c_jp^j)=min(j|B_j\neq \varnothing )< \infty \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_ix_i\neq 0$, nên cách phân hoạch trên thỏa mãn đề bài
Cách xử lý khi $x_i$ không nguyên (sơ lược):
-Xét $Z$ là không gian vector trên $\mathbb{Q}$ gồm các vector $(a_1,a_2,...,a_n)\in \mathbb{Q}^n$ sao cho $\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=0$
-Dễ có $dim(Z)\leq n-1$, và các vector với các tọa độ chỉ gồm $0,1$ (trừ vector $0$) không thuộc $Z$ (do giả thiết đề bài)
-Mở rộng $Z$ cho đến khi $dim(Z)=n-1$ và giữ được tính chất trên (làm được, cơ bản là vì $\mathbb{Q}$ vô hạn)
-Lấy vector $v=(x'_1,x'_2,...,x'_n)\neq 0$ trong không gian bù trực giao với $Z$ trong $\mathbb{Q}^n$, có thể chọn $v$ có tọa độ nguyên bằng cách nhân với bội chung các mẫu số của $x'_i$.
-Bộ số $x'_1,x'_2,...x'_n$ thỏa mãn giả thiết của đề, và ta có $\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=0\Rightarrow (a_1,a_2,...,a_n)\in Z\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}a_ix'_i=0$, ta phân hoạch tập các số nguyên dương như trên.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 01-11-2021 - 15:21