Chủ đề này có 31 trả lời

[nemo]

Cho G là một nhóm có cấp p.q trong đó p và q đều là các số nguyên tố.Khi đó tồn tại một phân hoạch G thành hữu hạn các tập Ai sao cho
(1i)Ai là nhóm
(2i)Các tập Ai khác nhau giao nhau đúng bằng phần tử đơn vị

Cái này thì mình chưa rõ lắm về cách phân hoạch, nhưng nghĩ thế này. Nếu nói là phân hoạch thành các nhóm con chỉ chung nhau phần tử đơn vị thì không chỉ điều kiện cấp n của nhóm là tích hai số nguyên tố phân biệt mà có thể tổng quát cho tích của m số nguyên tố phân biệt vì mỗi phần tử trong nhóm đều là phần tử sinh của một nhóm Cyclic có cấp là 1 hoặc n hoặc là một trong các ước nguyên tố của n. Rõ ràng những nhóm này chỉ chung nhau duy nhất phần tử đơn vị !

[vinhspiderman]

Ừ,bạn nemo nói đúng rồi,chỉ cần |G|=p1...pm trong đó các pi nguyên tố và đôi một khác nhau là luôn phân hoạch được.

[noproof]

To vinhspiderman: Có một bài tập khẳng định rằng mọi ma trận tuần hoàn A (trên trường số phức), tức là A^k=I, với k nào đó, là chéo hóa được.

[Mr Stoke]

Không ngờ bài toán này lại kéo theo lắm thứ và làm tốn giấy mực của anh em đến vậy. Tôi có biết hai lời giải: một lời giải rất sơ cấp, một cách làm khác là dựa trên các kết quả khá sâu của Đại số. Hy vọng anh em sẽ dần dần ... mò ra.

Có thể chứng minh được mọi nhóm hữu hạn có thể xem là nhóm gồm các ma trận với cấp hữu hạn thích hợp, tương tự với định lý: mọi nhóm hữu hạn có thể xem như là nhóm con của nhóm đối xứng.

Tất nhiên định lý sau là quen thuộc nhưng tớ chưa thấy kết quả đầu bao giờ. Bạn có thể chứng minh qua cho anh em xem được không ?

[vinhspiderman]

Thank noproof,cậu đúng là một trong những "cao thủ đại số" (ở trình độ sinh viên).Tớ chỉ biết nếu A^2 = I thì suy ra A chéo hóa được,cậu nói thế tớ mới biết.Tớ đã "nghi nghi" rồi nhưng không dám chắc vì tớ nghĩ nếu có kết quả đó rồi thì hẳn phải có trong sách mà sao người ta không ghi (chắc là tại tớ đọc sách không kĩ,hê hê).

Vậy thì kết hợp ý của noproof - mọi ma trận "tuần hoàn" đều chéo hóa được - với lập luận của tớ đã trình bày - phân hoạch nhóm nhân 2005 ma trận này - chúng ta có được một chứng minh cho bài toán của bạn Stoke!Bạn Stoke bảo là còn có cách chứng minh sơ cấp,vậy lúc nào rãnh post lên cho anh em tham khảo (xem nó sơ cấp kiểu gì mà mình không nghĩ ra,hi hi).

[noproof]

Có thể chứng minh được mọi nhóm hữu hạn có thể xem là nhóm gồm các ma trận với cấp hữu hạn thích hợp, tương tự với định lý: mọi nhóm hữu hạn có thể xem như là nhóm con của nhóm đối xứng.

Cách chứng minh cũng gần như chứng minh định lý Cayley.

Cho G là nhóm hữu hạn. Đặt V= C[G], đại số nhóm của G (mỗi phần tử của V là tổng hình thức các phần tử dạng a.g, g thuộc G, a thuộc C), C: trường số phức. Rõ ràng V là (không gian véctơ) hữu hạn chiều, dim V= |G|.
Với mỗi g thuộc G ta cho tương ứng với tự đồng cấu L_g của V như sau: L_g(x)=g.x (phép dịch chuyển trái). Kiểm tra được L_g thuộc GL(V) và tương ứng đưa g thành L_g là một đơn cấu từ nhóm G vào nhóm GL(V).

[Mr Stoke]

Có thể chứng minh được mọi nhóm hữu hạn có thể xem là nhóm gồm các ma trận với cấp hữu hạn thích hợp, tương tự với định lý: mọi nhóm hữu hạn có thể xem như là nhóm con của nhóm đối xứng.

Cách chứng minh cũng gần như chứng minh định lý Cayley.

Cho G là nhóm hữu hạn. Đặt V= C[G], đại số nhóm của G (mỗi phần tử của V là tổng hình thức các phần tử dạng a.g, g thuộc G, a thuộc C), C: trường số phức. Rõ ràng V là (không gian véctơ) hữu hạn chiều, dim V= |G|.
Với mỗi g thuộc G ta cho tương ứng với tự đồng cấu L_g của V như sau: L_g(x)=g.x (phép dịch chuyển trái). Kiểm tra được L_g thuộc GL(V) và tương ứng đưa g thành L_g là một đơn cấu từ nhóm G vào nhóm GL(V).

Lạ nhỉ, cm rất đơn giản, nhưng hình như là xét http://dientuvietnam...x.cgi?A^2=2005A thì http://dientuvietnam...imetex.cgi?tr(A) nguyên chia hết cho 2005.

Thực vậy, các giá trị riêng của $A$ chỉ là 0 hoặc 2005, nếu t là một gtr và x là vector riêng khác 0 tương ứng, http://dientuvietnam...x=A^2x=Atx=t^2x do đó http://dientuvietnam....cgi?t^2=2005t. ==> đpcm.

GS 2005 ma trận đó là http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H. Kí hiệu tổng các ma trận của H là T thì : http://dientuvietnam...etex.cgi?A_jT=T , do đó http://dientuvietnam....cgi?T^2=2005T.

Theo nhận xét 1, ==> đpcm.

Hy vọng thế này là đủ ... sơ cấp!

[xuansang]

Cho G là một nhóm có cấp p.q trong đó p và q đều là các số nguyên tố.Khi đó tồn tại một phân hoạch G thành hữu hạn các tập Ai sao cho
(1i)Ai là nhóm
(2i)Các tập Ai khác nhau giao nhau đúng bằng phần tử đơn vị

Tớ không tin vào nhận xét này lắm!
Giả sử phân chia này không tầm thướng! tức là số các tập Ai là n>1.
Lúc đó, |Ai|= q or p; số các |Ai|=q là r, |Ai|=p là s: rq+sp-(r+s)=q.p.
Lấy n=15 (p=3, q=5): 2s+4r=15 vô lý!

Các huynh thử chứng minh mạnh hơn rằng: Không tồn tại một cách chia G nào của bài toán trên!

[PRIVATE]
Có cô bé tiếc ngẩn ngơ ngọc ước
Thấy bướm vàng ngỡ sắc nắng trong mưa!

[vinhspiderman]

Ặc ặc,bác xuân sang không tin được là đúng rồi vì bác tính nhầm mất thì làm sao mà tin được!
Số phần tử của nhóm G khi đó phải là
rp+sq-(r+s)+1
Còn như số của bác tức là tính thiếu phần tử đơn vị mất rồi vì mỗi nhóm con bác đều trừ đi phần tử đơn vị lấy đâu ra phần tử đơn vị trong G nữa!Hê hê.

[xuansang]

Tại hạ thật nhầm lẫm! Xin thứ lỗi! Nhưng xin bác người nhện hãy cho lời giải của bài này nhé!

[vinhspiderman]

Ok thôi,làm toán nhầm mới vui chứ,mình nhầm luôn ấy mà,hê hê!
À,cho mình xin lỗi,trong phát biểu mệnh đề của mình hôm trước mình quên ghi một chi tiết là trong phân hoạch đó thì yêu cầu là các Ai đều là nhóm cyclic! (mình sẽ chỉnh lại reply đó)
Mình chứng minh trường hợp n=p.q.
Nếu G là nhóm cyclic thì ta có ngay đpcm,phân hoạch đó chính là G.

Giả sử G không là nhóm cyclic,khi đó một phần tử x bất kì trong G khác đơn vị phải có cấp là p hoặc q.Ta gọi nhóm con sinh ra bởi x là Ax thì nhóm này là nhóm cyclic (cấp p hoặc q).
Rõ ràng ta có hợp của các Ax lấy theo tất cả các x thuộc G chính là G.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng các nhóm này hoặc trùng nhau hoặc chỉ giao nhau đúng mỗi một phần tử đơn vị thì mệnh đề được chứng minh.
Giả sử Ax và Ay giao nhau chứa một phần tử z khác đơn vị,khi đó cấp của z phải lớn hơn 1 và là ước của cấp của Ax và Ay.Mà cấp của Ax và Ay đều là các số nguyên tố nên suy ra cấp của chúng trùng nhau và bằng cấp của z,cũng tức là z là phần tử sinh của 2 nhóm này,do đó chúng trùng nhau.

Vậy ta có ĐPCM.

(ừh nhỉ,giờ chứng minh lại mới thấy là dự đoán cho một mệnh đề tương tự cho trường hợp n=p1...pn với n>2 là có thể sai!
Để cho tiện bạn theo dõi,mình phát biểu lại mệnh đề đó (thêm yêu cầu là các Ai cyclic)

Mệnh đề : Cho G là một nhóm có cấp p.q trong đó p và q đều là các số nguyên tố.Khi đó tồn tại một phân hoạch G thành hữu hạn các tập Ai sao cho
(1i)Ai là nhóm cyclic
(2i)Các tập Ai khác nhau giao nhau đúng bằng phần tử đơn vị)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 29-06-2005 - 21:32

[xuansang]

Cảm ơn huynh người nhện!

Nhưng có gì mà phải thay đổi Ai thành nhóm cylic đâu! Việc chứng minh sự đúng sai của mở rộng bài này rất hay! Hy vọng anh em trên diễn đàn chịu khó bắt tay giải quyết!

Tuy nhiên với |G|=p1.p2...pn, với pi khác nhau từng đôi một (i=1,n; n>2) thì mệnh đề đúng. Chứng minh cũng tương tự như của huynh người nhện, và cách phân chia đó cũng thành các nhóm cyclic.





------------------
Dưới trăng, quyên đã gọi hè
Đầu tường lửa lựu lập loè đơm bông

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuansang: 30-06-2005 - 15:37