Cho a,b,c là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:
$$c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq c.\min\{ \frac{1}{a} ;\frac{1}{b}\}$$
Chứng minh bất đẳng thức số học $c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq ...$
#1
Đã gửi 21-02-2008 - 19:31
- DangThanhDat yêu thích
Học, học nữa, học mãi, học cho hết đời!
Đặt: [tex]\left\{ \begin{array}{l} \sin ^2 x = I \\ c{\rm{os}}^2 x = U \\ \end{array} \right[/tex]
Suy ra: I + U = 1
Hay ta có: I và U là một!
#2
Đã gửi 16-07-2019 - 10:01
Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:
$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$
Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.
Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$
Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 16-07-2019 - 10:07
- chanhquocnghiem và phamnam2705 thích
#3
Đã gửi 17-07-2019 - 09:11
Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:
$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$
Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.
Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$
Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$
Sửa lại một chút ở dòng thứ ba : $0\leqslant d\leqslant ab-1$
Và dòng thứ tám : $d< b$
- DOTOANNANG yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 17-07-2019 - 15:45
Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:
$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$
Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.
Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$
Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$
Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!
#5
Đã gửi 17-07-2019 - 21:24
Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!
$c< b$ thì $c< ab$, dẫn đến $\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor=0$.
Do đó bất đẳng thức đã cho trong đề bài hiển nhiên đúng (vì vế trái bằng $0$, còn vế phải dương)
- phamnam2705 và DOTOANNANG thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#6
Đã gửi 18-07-2019 - 08:36
"dele"? [yes/No] Y
"dele" end
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-07-2019 - 09:07
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh