Đến nội dung


Hình ảnh

$RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 math_galois

math_galois

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 21-02-2008 - 22:25

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $I,J$ là 2 điểm thuộc $AB$ và đối xứng nhau qua $O$. Điểm $M$ là điểm thuộc $(O)$, khác $A$ và $B$. Giả sử $MI, MJ$ và $MO$ lần lượt cắt $(O)$ tại các giao điểm thức hai (khác $M$) là $P,Q$ và $S$. Hai đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.
 



#2 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 17-07-2015 - 23:06

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $I,J$ là 2 điểm thuộc $AB$ và đối xứng nhau qua $O$. Điểm $M$ là điểm thuộc $(O)$, khác $A$ và $B$. Giả sử $MI, MJ$ và $MO$ lần lượt cắt $(O)$ tại các giao điểm thức hai (khác $M$) là $P,Q$ và $S$. Hai đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.
 

dkm.JPG

Ta có $AB\cap PQ=R$ .Gọi $R'$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $S$ với $AB$, kẻ thêm

tiếp tuyến $RC$ .

Dễ thấy $\Delta IMO=\Delta JSO$ nên $\widehat{IMO}=\widehat{JSO}$

Mặt khác ta có $OR$ là trục đối xứng của $CS$ và tứ giác $MPSQ$ nội tiếp nên:

$\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{PQS} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$

Suy ra $\widehat{JQP}=\widehat{JCR}$ do cùng phụ với $\widehat{PQS}=\widehat{OCJ}$

Điều đó chứng tỏ tứ giác $CJQR$ nội tiếp ,ta tính được:

$\widehat{SQR}=360^{\circ}-90^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{JCR})=90^{\circ}+\widehat{JCR}$

$\Rightarrow \widehat{PQR}=\widehat{OCJ}+90^{\circ}+\widehat{JCR}=180^{\circ}$

Nên $\overline{P,Q,R'}\Rightarrow R\equiv R'$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 19-07-2015 - 21:30

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#3 huypham2811

huypham2811

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The state of fun
  • Sở thích:—ナルト— Naruto Shippuden

Đã gửi 17-07-2015 - 23:25

Dạng tổng quát của bài trên: với AB là 1 dây cung của đtròn(O) ta cx có kết quả tương tự.

Chứng Minh:
_Trên (O) lấy điểm N sao cho MN//AB

_Có: M(TOJI)=-1 <=> (TSQP)=-1 suy ra TQSP là tứ giác điều hòa => gọi X là giao điểm của tiếp tuyến của (O) tại T và S thì X thuộc PQ. (1)

_Tương tự thì TBSA cx là tứ giác điều hòa => X thuộc AB (2)

 

từ (1) và (2) ta có đpcm.  ($X\equiv R$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 17-07-2015 - 23:26


#4 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 18-07-2015 - 18:21

Mình chưa up được hình, cái bạn làm link dưới xem hình.

https://www.dropbox.... 18.12.jpg?dl=0

 

Gọi $K$ là điểm đối xứng với $S$ qua $BC$. Khi đó ta có $MK || IJ$, kết hợp $OI=OJ$ ta có $M(IJ,OK)=-1$, chiếu chùm này lên đường tròn $(O)$ ta có tứ giác $PSQK$ điều hòa, hay $PQ, SS,KK$ đồng quy  ( với $SS$, $KK$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $S$ và $K$.).

Mặt khác, điểm đồng quy nằm trên trung trực $SK$, hay nó nằm trên $AB$ nói cách khác $AB,PQ,SS,KK$ đồng quy tại $R$ là giao của $PQ$ và $AB$.

Từ đây ta thu được $RS$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$, đpcm.



#5 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 18-07-2015 - 21:48

Ta có $AB\cap PQ=R$ .Gọi $R'$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $S$ với $AB$, kẻ thêm

tiếp tuyến $RC$ .

Dễ thấy $\Delta IMO=\Delta JSO$ nên $\widehat{IMO}=\widehat{JSO}$

Mặt khác ta có $OR$ là trục đối xứng của $CS$ và tứ giác $MPSQ$ nội tiếp nên:

$\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{RQS} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$

Suy ra $\widehat{JQP}=\widehat{JCR}$ do cùng phụ với $\widehat{PQS}=\widehat{OCJ}$

Điều đó chứng tỏ tứ giác $CJQR$ nội tiếp ,ta tính được:

$\widehat{SQR}=360^{\circ}-90^{\circ}-(180^{\circ}-\widehat{JCR})=90^{\circ}+\widehat{JCR}$

$\Rightarrow \widehat{PQR}=\widehat{OCJ}+90^{\circ}+\widehat{JCR}=180^{\circ}$

Nên $\overline{P,Q,R'}\Rightarrow R\equiv R'$

Tớ thấy chỗ này $\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{{\color{Red} RQS}} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$ không ổn lắm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 18-07-2015 - 21:55


#6 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 19-07-2015 - 21:30

Tớ thấy chỗ này $\left\{\begin{matrix} \widehat{PMS}=\widehat{{\color{Red} RQS}} & \\ \widehat{OSJ}=\widehat{OCJ}& \end{matrix}\right.$ không ổn lắm

Vâng,mình đã sửa,cảm ơn bạn


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#7 Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi có động năng bằng thế năng
  • Sở thích:Vật Lý,Hình học phẳng,Origami

Đã gửi 19-07-2015 - 21:33

Mình chưa up được hình, cái bạn làm link dưới xem hình.

https://www.dropbox.... 18.12.jpg?dl=0

 

Gọi $K$ là điểm đối xứng với $S$ qua $BC$. Khi đó ta có $MK || IJ$, kết hợp $OI=OJ$ ta có $M(IJ,OK)=-1$, chiếu chùm này lên đường tròn $(O)$ ta có tứ giác $PSQK$ điều hòa, hay $PQ, SS,KK$ đồng quy  ( với $SS$, $KK$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $S$ và $K$.).

Mặt khác, điểm đồng quy nằm trên trung trực $SK$, hay nó nằm trên $AB$ nói cách khác $AB,PQ,SS,KK$ đồng quy tại $R$ là giao của $PQ$ và $AB$.

Từ đây ta thu được $RS$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$, đpcm.

Nên nhớ đây là bài toán trong tuần ,vả lại còn là một bài toán THCS nữa ,nên việc dùng tỉ số kép không phù hợp cho lắm 


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh