Chủ đề này có 9 trả lời

[lovePearl_maytrang]

Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh n đều tồn tại đa thức P(x) mà P(1),...,P(n) có dạng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^a, trong đó các giá trị a đôi một phân biệt

[lehoan]

Quy nạp theo n.
n=1 lấy http://dientuvietnam...x.cgi?f_{n 1}(x)=f_n(x)
Nếu http://dientuvietnam...imetex.cgi?(d;p)=1

Dễ chứng minh được rằng (n!;d)=1.Tồn tại u,v sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?ud^k-v.n!=1
Đặthttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t=p^{kc}v suy ra http://dientuvietnam...cgi?f_{n 1}(n 1)=up^{kc}d^k-p^{kc}.v.n!=p^{kc}(ud^k-v.n!)=p^{kc}.ĐPCM
Nhận xét : Bài toán cũng đúng với p=2.

[lovePearl_maytrang]

Đặt

Không biết bạn nhầm hay tôi nhầm???

[lehoan]

Đặt

Không biết bạn nhầm hay tôi nhầm???

Có lẽ là lehoan nhầm rồi đấy.
@:mà anh LPMT lúc nào ra học đội tuyển quốc tế có bài nào hay thì cố gắng post lên cho mọi người tham khảo nhé .Cảm ơn anh trước

[lovePearl_maytrang]

Chính xác thì phải là thế này:
Với n giả sử đã có P(x) thỏa mãn
n+1: Tìm Q(x) dưới dạng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q(x)=p^mP^k(x)-A(x-1)...(x-n)
Q(n+1)=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^mP^k(n+1)-A.n!=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^t.q,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P(n+1)=p^r.s
(s,q)=(p,q)=1
Chọn k (q) suy ra http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k 1(mod q)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?s^k-bq=p^kNếu rk t cho m=0,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=b.p^{rk-t}
Nếu rk<t cho m=t-rk, A=b
Mấu chốt của bài này là ta có thể làm hai việc đối với P(x), đó là lũy thừa nó lên và nhân nó cho lũy thừa đúng của p.Đây là điều không thể nhận ra ngay được.

[dhkhtn-tnt]

một bài gần giống :
Cho đa thức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n và số nguyên dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p thỏa mãn:
i/http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a_1,p)=1
ii/http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_2,..,a_n chia hết cho các thừa số NT của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p
CM với mỗi k tồn tại a sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(a) chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k
Các bạn làm thử xem!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dhkhtn-tnt: 19-02-2006 - 12:08

[lvd]

BẠn dhkhtn-tnt xem lại đề bài đi
Bài khác:cho thỏa mãn tồn tại a sao cho p|P(a);p không chia hết P'(a).Khi đó với mọi n tồn tại duy nhất r_n(mod p^n) sao cho

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvd: 18-02-2006 - 16:13

[dhkhtn-tnt]

Nhớ lộn đề là p nguyên tố,nhưng nếu p nguyên tố thì cũng chẳng sai!

[nlhma13]

Không biết là tôi có nhầm không nhưng mà bài toán xác định đa thức bậc n khi đã biêt giá trị của nó tại n điểm là bài toán quá dễ mà. Bạn cứ cho giá trị của nó tại 1,2,..,n tương ứng là p^{1},a^{2},..., p^{n} còn lấy thêm một giá trị bất kì nữa và dùng Công thức Lagrăng là xong mà.

[MrLonely]

bài của dhkhtn dùng qui nạp theo n , p không nguyên tố vẫn đúng