Đến nội dung


Hình ảnh

$m| a_{1}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 DinhCuongTk14

DinhCuongTk14

    Tiến sĩ Diễn đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội

Đã gửi 15-03-2008 - 15:37

Cho các số $a_{1},a_{2},..,a_{q},x_{1},x_{2},..,x_{q}$ và $m$ là các số nguyên thỏa mãn :
$$m|a_{1}x_{1}^{k}+..+a_{q}x_{q}^{k},\forall k\geq 0$$
Chứng minh rằng:
$$m| a_{1}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 30-09-2012 - 08:36


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-10-2012 - 19:24

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 04/10 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Trungpbc

Trungpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán,conan

Đã gửi 09-11-2012 - 08:28

Kí hiệu $S_{n}^{i}$ để chỉ đa thức đối xứng sơ cấp thứ $n$ của các biến $x_{j},j\neq i$
Xét khai triển chuỗi $$f(x)=\sum_{i=1}^{q}\frac{a_{i}}{1-x_{i}x}
=(a_{1}+a_{2}+...+a_{q})+(a_{1}x_{1}+...+a_{q}x_{q})z+...$$ có tất cả các hệ số đều là bội của $m$. Do đó, tất cả các hệ số của chuỗi $$g(x)=\sum_{i=1}^{q}a_{i}\prod _{j\neq i}(1-x_{j}x)$$ cũng đều là bội của $m$. Do đó, ta có $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}
$$ $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{1}^{i}$$ $$ ...$$ $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{q-1}^{i}$$ Suy ra $$m|x_{1}^{q-1}\sum_{i=1}^{q}a_{i}-x_{1}^{q-2}\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{1}^{i}+...+(-1)^{q-1}\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{q-1}^{i}$$ $$=\sum_{i=1}^{q}a_{i}\left [ x_{1}^{q-1}-S_{1}^{i}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{i} \right ]$$ Chú ý, với mọi $i\geqslant 2$ thì $$x_{1}^{q-1}-S_{1}^{i}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{i}=\prod _{j\neq i}(x_{1}-x_{j})=0$$ Và $x_{1}^{q-1}-S_{1}^{1}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{1}=\prod _{j=2}^{q}(x_{1}-x_{j})$. Do đó $$m|a_{1}\left ( x_{1}-x_{2} \right )(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 09-11-2012 - 08:32


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-11-2012 - 22:46

Chấm điểm:
Trungpbc: 50 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh