Chủ đề này có 3 trả lời

[DinhCuongTk14]

Cho các số $a_{1},a_{2},..,a_{q},x_{1},x_{2},..,x_{q}$ và $m$ là các số nguyên thỏa mãn :
$$m|a_{1}x_{1}^{k}+..+a_{q}x_{q}^{k},\forall k\geq 0$$
Chứng minh rằng:
$$m| a_{1}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 30-09-2012 - 08:36

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 04/10 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

[Trungpbc]

Kí hiệu $S_{n}^{i}$ để chỉ đa thức đối xứng sơ cấp thứ $n$ của các biến $x_{j},j\neq i$
Xét khai triển chuỗi $$f(x)=\sum_{i=1}^{q}\frac{a_{i}}{1-x_{i}x}
=(a_{1}+a_{2}+...+a_{q})+(a_{1}x_{1}+...+a_{q}x_{q})z+...$$ có tất cả các hệ số đều là bội của $m$. Do đó, tất cả các hệ số của chuỗi $$g(x)=\sum_{i=1}^{q}a_{i}\prod _{j\neq i}(1-x_{j}x)$$ cũng đều là bội của $m$. Do đó, ta có $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}
$$ $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{1}^{i}$$ $$ ...$$ $$m|\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{q-1}^{i}$$ Suy ra $$m|x_{1}^{q-1}\sum_{i=1}^{q}a_{i}-x_{1}^{q-2}\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{1}^{i}+...+(-1)^{q-1}\sum_{i=1}^{q}a_{i}S_{q-1}^{i}$$ $$=\sum_{i=1}^{q}a_{i}\left [ x_{1}^{q-1}-S_{1}^{i}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{i} \right ]$$ Chú ý, với mọi $i\geqslant 2$ thì $$x_{1}^{q-1}-S_{1}^{i}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{i}=\prod _{j\neq i}(x_{1}-x_{j})=0$$ Và $x_{1}^{q-1}-S_{1}^{1}x_{1}^{q-2}+...+(-1)^{q-1}S_{q-1}^{1}=\prod _{j=2}^{q}(x_{1}-x_{j})$. Do đó $$m|a_{1}\left ( x_{1}-x_{2} \right )(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 09-11-2012 - 08:32

[PSW]

Chấm điểm:
Trungpbc: 50 điểm