Chủ đề này có 9 trả lời

[Lity124]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn :$ 3^{-x}+ 3^{-y} + 3^{-z} =1 $.Chứng minh rằng : $ \dfrac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+ \dfrac{9^y}{3^y+3^{z+x}} + \dfrac{9^z}{3^z+3^{x+y}} \geq \dfrac{3^x+3^y+3^z}{4} $

[mai quoc thang]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn :$ 3^{-x}+ 3^{-y} + 3^{-z} =1 $.Chứng minh rằng : $ \dfrac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+ \dfrac{9^y}{3^y+3^{z+x}} + \dfrac{9^z}{3^z+3^{x+y}} \geq \dfrac{3^x+3^y+3^z}{4} $

Đặt $\ a=3^x,b=3^y,c=3^z$,rồi dùng B.C.S là ra.

[Lity124]

Đặt $\ a=3^x,b=3^y,c=3^z$,rồi dùng B.C.S là ra.

Ta sẽ được :$a,b,c>0$ thỏa mãn :$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}=1 $.Và cần CM:$ \dfrac{a^2}{a+bc} + \dfrac{b^2}{b+ca} + \dfrac{c^2}{ab} \geq \dfrac{a+b+c}{4} $
Bạn dùng BCS ? Mình nghĩ là không ra ! (BDT ngược chiều)

[y chi]

$\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a}{(b-1)(c-1)}$
Do đó: $\sum \dfrac{a}{(b-1)(c-1)} \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(\dfrac{1}{(b-1)(c-1)}+\dfrac{1}{(b-1)(a-1)}+\dfrac{1}{(a-1)(c-1)})$.Với $a \geq b \geq c$
Vậy cần c/m: $ \sum \dfrac{1}{(a-1)(b-1)} \geq \dfrac{3}{4}$.Qui đồng là ra.

[duyenmit]

$ a^{2}+abc= a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c) $.Tương tự với b,c.
Ta phải chứng minh$ /sum /frac{ a^{3} }{(a+b)(a+c)} /frac{a+b+c}{4} $
ta có$ /frac{ a^{3} }{(a+b)(a+c)}+ /frac{a+b}{8}+ /frac{a+c}{8} /frac{3a}{4} $.Làm tương tự rồi cộng lại có dpcm
Xin lỗ lâu ngày không gõ quên mất cách gõ rồi bạn nào chỉnh sửa hộ cái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duyenmit: 21-04-2008 - 00:49

[H.Quân- ĐHV]

có lẽ bạn giải thế này

ta có $a^2 + abc = (a+b)(a+c) $ nên $\dfrac{a^2}{a+bc} = \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) }$ sử dụng cô si

$ \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) } + \dfrac{ a+b}{8} + \dfrac{ a+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$ thay vào có đpcm.

[duyenmit]

Đúng vậy đó

[Lity124]

có lẽ bạn giải thế này

ta có $a^2 + abc = (a+b)(a+c) $ nên $\dfrac{a^2}{a+bc} = \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) }$ sử dụng cô si

$ \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) } + \dfrac{ a+b}{8} + \dfrac{ a+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$ thay vào có đpcm.

Có lẽ là LG của nó là thế ( mình cũng đã làm như thế này ).Bởi thi ĐH không đến nỗi phải dùng Trê-bư-sep như y chi. Với lại việc "phát hiện " ra đẳng thức :$ \dfrac{a^2}{a+bc}= \dfrac{a}{(b-1)(c-1)} $
cũng........lằng nhằng ( đến bây giờ mình vẫn chưa hiểu tại sao lại tìm ra nó )

[H.Quân- ĐHV]

thêm một bài thi thử đại học

cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $8^a + 8^b + 8^c = 3 $ cm

$\dfrac{ 4^a}{3-4^a} + \dfrac{ 4^b}{3-4^b} + \dfrac{ 4^c}{3-4^c} \ge \dfrac{3}{2}.$

[mai quoc thang]

Đặt:$\ x^{3}=8^{a};y^{3}=8^{b};z^{3}=8^{c}$.Dễ thấy x,y,z>0 và$\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\dfrac{x^2}{3-x^2}+\dfrac{y^2}{3-y^2}+\dfrac{z^2}{3-z^2} \geq \dfrac{3}{2}$ .
Ta có $\dfrac{x^2}{3-x^2} \geq \dfrac{x^{3}}{2} \Leftrightarrow (x+2)(x-1)^{2} \geq 0 $.Chứng minh tương tự cho hai cái còn lại rồi cộng lại,kết hợp với$\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ suy ra ĐPCM.


cách làm này đã quá quen thuộc với một số bạn