cho 3 số a,b,c dương,với a+b+c=1:
CMR: 4/(1+a) + 4/(1+b) + 4/(1+c) =< a/bc + b/ac + c/ba
BDT dzui
Bắt đầu bởi toanh, 30-03-2008 - 18:26
#1
Đã gửi 30-03-2008 - 18:26
#2
Đã gửi 10-04-2008 - 20:55
Bạn nên học đánh Latex cho dễ nhìn bạn nhécho 3 số a,b,c dương,với a+b+c=1:
CMR: 4/(1+a) + 4/(1+b) + 4/(1+c) =< a/bc + b/ac + c/ba
Đề bài
Cho 3 số $a,b,c>0$ ,với $a+b+c=1$:
CMR: $\dfrac{4}{1+a} + \dfrac{4}{1+b} + \dfrac{4}{1+c} \leq \dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ac} + \dfrac{c}{ba}$
Bài làm:
Theo BDT Cauchy ta có:
$\dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ac} \geq \dfrac{2}{c}$;$\dfrac{a}{bc} + \dfrac{c}{ab} \geq \dfrac{2}{b}$;$\dfrac{c}{ba} + \dfrac{b}{ac} \geq \dfrac{2}{a}$
$\rightarrow \dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ac} + \dfrac{c}{ba} \geq \dfrac{1}{c} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}$
Mặt khác:
$\dfrac{4}{1+a} + \dfrac{4}{1+b} + \dfrac{4}{1+c} $
$= \dfrac{4}{(a+b)+(a+c)} + \dfrac{4}{(b+a)+(b+c)} + \dfrac{4}{(a+c)+(c+b)}$
$\leq \dfrac{2}{b+a} + \dfrac{2}{a+c} + \dfrac{2}{b+c} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{4}{b+a} + \dfrac{4}{a+c} + \dfrac{4}{b+c} )$
$\leq \dfrac{1}{2}( \dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c})=\dfrac{1}{c} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}$
$\leq \dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ac} + \dfrac{c}{ba}$ (đpcm)
Trên bài có sử dụng BDT quen thuộc : $\dfrac{4}{x+y}\leq\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \forall x;y>0$
Mọi người đánh giá bài làm của mình xem
"dịp may chỉ mách bảo 1 trí tuệ đã sẵn sàng"
Louis Pasteur
Louis Pasteur
#3
Đã gửi 13-04-2008 - 19:47
Sao không dùng luôn:
$\dfrac{16}{a+a+b+c} \leq\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
$ \dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}$
$\dfrac{16}{a+a+b+c} \leq\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
$ \dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}$
ý chí là vũ khí mạnh nhất của bạn
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh