Phần trong $AD, BD, CD$ không chứa một điểm nào nguyên
#1
Đã gửi 23-05-2005 - 07:48
- hxthanh, Sagittarius912, phudinhgioihan và 3 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 28-02-2013 - 10:51
$\left\{\begin{align*} \text{gcd}\left(x_A-x_D; y_A-y_D\right)=1\\ \text{gcd}\left(x_B-x_D; y_B-y_D\right)=1\\ \text{gcd}\left(x_C-x_D; y_C-y_D\right)=1\end{align*}\right.$
Với $x_A,y_A;x_B,y_B;x_C,y_C$ là các số nguyên cho trước (các tọa độ nguyên của $A,B,C$)
- E. Galois, Sagittarius912 và phudinhgioihan thích
#3
Đã gửi 01-03-2013 - 22:19
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này.
- hxthanh và lovemaths1008 thích
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
#4
Đã gửi 14-06-2013 - 21:34
Gọi $L$ là tập các điểm nguyên trên mặt phẳng. Chứng minh rằng với mọi cặp $3$ điểm $A, B, C$ thuộc $L$ thì tồn tại điểm thứ tư $D$ sao cho phần trong của các đoạn thẳng (phần đoạn thẳng trừ đi $2$ đầu mút) $AD, BD, CD$ không chứa một điểm nào thuộc $L$.
Nhận xét:
Với hai điểm nguyên $X(a,b)$, $Y(c,d)$ thì đoạn thẳng $XY$ không chứa điểm nguyên nào ngoài hai đầu mút khi và chỉ khi $\gcd(a-c,b-d)=1$
Chứng minh nhận xét này đơn giản, xin không trình bày ở đây.
Trở lại giả bài toán ban đầu:
Giả sử $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})$, sử dụng nhận xét trên, ta thấy yêu cầu của bài toán tương đương với việc chứng minh tồn tại điểm nguyên $D(x,y)$ sao cho: $$\gcd(x-x_{i},y-y_{i})=1,\ \forall i=1,2,3$$ Dễ thấy, có tất cả $4$ điểm nguyên phân biệt theo modulo $2$ là $(0,0);(0,1);(1,0);(1,1)$. Do đó, có thể chọn $x,y$ theo modulo $2$ sao cho: $$(x,y)\neq (x_{i},y_{i})\pmod2,\ \forall i=1,2,3$$ Hoàn toàn tương tự, có thể chọn $x,y$ theo modulo $3$ sao cho: $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})\pmod3,\ \forall i=1,2,3$. Theo định lí thặng dư trung hoa tồn tại số nguyên dương $x>\max\left \{ x_{1},x_{2},x_{3} \right \}$ thỏa mãn các điều kiện trên. Chú ý rằng $T=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})>0$ nên $T$ có hữu hạn ước nguyên tố. Gọi $p>3$ là một ước nguyên tố bất kì của $T$. Dễ thấy, có thể chọn $y$ modulo $p$ sao cho: $$y\neq y_{i}\pmod p,\ \forall i=1,2,3$$ Cho $p$ chạy trên tất cả các ước nguyên tố lớn hơn $3$ của $T$, sử dụng định lí thặng dư Trung Hoa, ta thấy tồn tại số nguyên dương $y$ thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Rõ ràng, điểm nguyên $D(x,y)$ thỏa mãn bài toán.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 14-06-2013 - 21:43
- perfectstrong yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh