Đến nội dung


Hình ảnh

hình chiếutồn tại đường thẳng l sao cho hình chiếu của tất cả các đoạn đó trên l có tổng độ dài nhỏ hơn $\dfrac2\pi$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 23-05-2005 - 08:08

Cho tập hợp hữu hạn các đoạn thẳng trong mặt phẳng có tổng độ dài là 1. CMR tồn tại đường thẳng $l$ sao cho hình chiếu của tất cả các đoạn đó trên $l$ có tổng độ dài nhỏ hơn $\dfrac{2}{\pi}$


The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-04-2013 - 21:10

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 26/04 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 26-04-2013 - 19:55

Cho tập hợp hữu hạn các đoạn thẳng trong mặt phẳng có tổng độ dài là 1. CMR tồn tại đường thẳng $l$ sao cho hình chiếu của tất cả các đoạn đó trên $l$ có tổng độ dài nhỏ hơn $\dfrac{2}{\pi}$

 

Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song và cách nhau một đoạn $\dfrac{1}{n} , \; n \in \mathbb{N}^*$. Trên $d_1$ và $d_2$ lấy n điểm $A_i$ và n điểm $B_i$ sao cho $A_iB_i \perp d_1 \;, \forall \;1 \le i\le n$ , khi đó $\sum_{i=1}^n A_iB_i=1 $ nhưng tổng hình chiếu của các $A_jB_j, j \neq i$ lên $A_iB_i$ bất kỳ luôn bằng $\dfrac{n-1}{n}$ .  Với $n \ge 3 \;, \dfrac{n-1}{n}>\dfrac{2}{\pi}$ , do đó không tồn tại đoạn thẳng $A_iB_i$ nào thỏa yêu cầu bài toán.

 

Kết luận: yêu cầu cần chứng minh là sai!


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-04-2013 - 20:15

Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song và cách nhau một đoạn $\dfrac{1}{n} , \; n \in \mathbb{N}^*$. Trên $d_1$ và $d_2$ lấy n điểm $A_i$ và n điểm $B_i$ sao cho $A_iB_i \perp d_1 \;, \forall \;1 \le i\le n$ , khi đó $\sum_{i=1}^n A_iB_i=1 $ nhưng tổng hình chiếu của các $A_jB_j, j \neq i$ lên $A_iB_i$ bất kỳ luôn bằng $\dfrac{n-1}{n}$ .  Với $n \ge 3 \;, \dfrac{n-1}{n}>\dfrac{2}{\pi}$ , do đó không tồn tại đoạn thẳng $A_iB_i$ nào thỏa yêu cầu bài toán.

 

Kết luận: yêu cầu cần chứng minh là sai!

 

:)) phủ định của phủ định giới hạn nhé! Lấy $n$ đoạn của em xây dựng chiếu lên $d_1$ hoặc $d_2$ thì ta có tổng các đoạn hình chiếu $=0<\frac{2}{\pi}$

Bài toán chỉ nói rằng tồn tại một đường thẳng chứ có nói bắt buộc là một trong các đoạn đó đâu?

Spoiler


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 26-04-2013 - 21:59

:)) phủ định của phủ định giới hạn nhé! Lấy $n$ đoạn của em xây dựng chiếu lên $d_1$ hoặc $d_2$ thì ta có tổng các đoạn hình chiếu $=0<\frac{2}{\pi}$

Bài toán chỉ nói rằng tồn tại một đường thẳng chứ có nói bắt buộc là một trong các đoạn đó đâu?

Spoiler

 

À không, ý em xét tập n đoạn thẳng là các $A_iB_i$ ấy, không có $d_1,d_2$ đâu anh. Nói cụ thể cách xây dựng cho dễ hình dung thôi.


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#6 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-04-2013 - 22:39

À không, ý em xét tập n đoạn thẳng là các $A_iB_i$ ấy, không có $d_1,d_2$ đâu anh. Nói cụ thể cách xây dựng cho dễ hình dung thôi.

Thế chẳng phải là tồn tại một đường thẳng vuông góc với tất cả các đoạn thẳng mà em xây dựng đó à?

Hình chiếu của $n$ đoạn đó lên đường vuông góc chung đó có độ dài bằng 0? OK?


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#7 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-04-2013 - 09:08

Ý tưởng của tôi

 

Xét $n$ đoạn thẳng có tổng chiều dài là $1$ trong hệ trục tọa độ $xOy$

Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một vecto.

 

Bằng cách chuyển dời song song các đoạn thẳng theo hai trục tọa độ (không làm thay đổi độ dài đoạn chiếu lên đường thẳng bất kỳ, đây cũng chính là tính chất của 2 vecto bằng nhau) ta có thể sắp $n$ đoạn thẳng thành một $n-\text{giác}$ (nếu n-gấp khúc khép kín) hay $(n+1)-\text{giác}$ (n-gấp khúc không khép kín) quan trọng là không lõm.

Ta hoàn toàn thực hiện được điều này bằng cách sắp xếp giá trị các góc lượng giác của $n$ vecto với trục $Ox$ theo thứ tự tăng dần

 

Bây giờ ta tìm cách liên hệ với đường tròn có chu vi bằng $1$. Xem đường tròn là một đa giác $\infty$ cạnh. Chiếu các "cạnh" đường tròn lên đường kính của nó ta được tổng độ dài là 2 lần đường kính $=\frac{2}{\pi}$


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#8 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-12-2013 - 00:14

Ta có nhận xét là khi dời 1 đoạn thẳng đi theo phương của 1 vector bất kì thì hình chiếu của đoạn thẳng đó lên 1 đường thẳng bất kì có độ dài không đổi. Vậy nên đầu tiên ta cắt đôi $n$ đoạn thẳng này thành $2n$ đoạn thẳng (Khi đó mỗi đoạn thẳng trong $2n$ đoạn có 1 đoạn bằng với nó). Dời $2n$ đoạn thẳng này như thầy Thanh sẽ có 1 đa giác lồi $2n$ cạnh là $A_1A_2....A_{2n}$ với $A_{i}A_{i+1}||A_{i+n}A_{i+n+1}$ và $A_{i}A_{i+1}||A_{i+n}A_{i+n+1}$. Lúc đó các đoạn $A_{i}A_{i+n}$ có chung trung điểm là $O$ (Tính chất hình bình hành).  Kí hiệu $d(A_{i}A_{i+1};A_{i+n}A_{i+n+1})$ là khoảng cách giữa đoạn $A_{i}A_{i+1}$ và $A_{i+n}A_{i+n+1}$. Đặt $d=d(A_{t}A_{t+1};A_{t+n}A_{t+n+1})=\text{min}d(A_{i}A_{i+1};A_{i+n}A_{i+n+1})$ với $i=\overline{1,n}$. Kẻ đường tròn tâm $O$ bán kính $\frac{d}{2}$ tiếp xúc với $A_{t}A_{t+1},A_{t+n}A_{t+n+1}$ lần lượt tại $A,B$. Lúc đó dễ thấy $A_{i}$ nằm ngoài $(O)$ với mọi $i=\overline{1;n}$ (Do $OA_{i}>\frac{d}{2}$)

Ta có $d.\pi$ là chu vi đường tròn tâm $O$ < tổng độ dài các cạnh $2n$ giác = 1.

Vậy nên $d<\frac{1}{\pi}$.

Mặt khác khi ta chiếu $2n$ cạnh xuống $AB$ ta có tổng độ dài các hình chiếu là $2d<\frac{2}{\pi}$ $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 29-12-2013 - 00:16

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh