Đến nội dung

Hình ảnh

mn=pq

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
Cho $m;n;p;q$ là các số nguyên dương và đặt $X=\{ 1;2;...;q \}.$
$M$ và $N$ là các tập con của $X$ thỏa mãn $|M|=m;|N|=n$ và với mọi $i;j$ mà $0\leq i;j\leq q-1$ thì $|(M+i)\cap (N+j)|=p$. Chứng minh rằng:
$$mn=pq$$
Với kí hiệu $$A+i=\{ x+i (mod \ \ q) | x \in A \}$$

#2
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Cho $m;n;p;q$ là các số nguyên dương và đặt $X=\{ 1;2;...;q \}.$
$M$ và $N$ là các tập con của $X$ thỏa mãn $|M|=m;|N|=n$ và với mọi $i;j$ mà $0\leq i;j\leq q-1$ thì $|(M+i)\cap (N+j)|=p$. Chứng minh rằng:
$$mn=pq$$
Với kí hiệu $$A+i=\{ x+i (mod \ \ q) | x \in A \}$-A=\left \{ -x|x\in A \right \}$$$

Mọi phép cộng dưới đây đều là phép cộng trong module $q$, coi $q=0$
Nhận xét: cho tập $A\subset X,\left | A \right |=a$, có đúng $a$ giá trị của $i$ sao cho $0\in A+i$
Ta đếm số bộ $i,j\in X$ sao cho $0\in M+i,0\in N+j\Leftrightarrow 0\in \left ( M+i \right )\cap (N+j)$
Cách 1: có $m$ số $i$ sao cho $0\in M+i$, $n$ số $j$ sao cho $0\in N+j$, tổng cộng có $mn$ bộ
Cách 2: đặt $k=j-i$, đếm số bộ $i,j$ cũng giống như đếm số bộ $i,k$, có $q$ cách chọn $k$, xét $k$ cố định.
Đặt $P_k=M\cap (N+k)$, ta cần có $0\in \left ( M+i \right )\cap (N+j)=P_k+i$. Vì $\left | P_k \right |=p$ (giả thiết đề bài) nên có $p$ cách chọn $i$, tổng cộng có $pq$ bộ
Từ đây ta có đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)