Đến nội dung

Hình ảnh

Lại bất đẳng thức

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Songohan

Songohan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
Cho $a_i > 0$ $(i = 1,2,...,n);$ $\sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^2 } \le \Large\mathbf {M}:const$
Cmr :
${\min }\limits_{1 \le i < j \le n} |a_i - a_j | \le \sqrt {\dfrac{\Large\mathbf {6M}}{{n (n - 1)(2n - 1)}}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4232: 20-06-2008 - 07:36


#2
Songohan

Songohan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
Xắp xếp lại dãy số như sau.
$0 < a_1 \le a_2 \le a_3 \le ... \le a_n $
Đặt $\nabla _i = a_{i + 1} - a_i $
Ta nhận thấy $n - 2$ điểm $a_2 ,a_3 ,..,a_{n - 1} $ chia đoạn $[a_1 ;a_n ]$ làm $n - 1$ đoạn nhỏ,
Đặt mỗi đoạn nhỏ này là $\Delta _i $, sao cho $\Delta _1 \le \Delta _2 \le .. \le \Delta _{n - 1} $
Ta suy ra $\nabla _i \ge {\min }\limits_{1 \le i < j \le n} |a_i - a_j | = \Delta _1 $
Ta có
$M \ge \sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2 } = a_1^2 + (a_1^2 + \nabla _1 )^2 + (a_1^2 + \nabla _1 + \nabla _2 )^2 + .. + (a_1^2 + \nabla _1 + .. + \nabla _{n - 1} )^2 $
$ \ge a_1^2 + (a_1^2 + \Delta _1 )^2 + (a_1^2 + 2\Delta _1 )^2 + .. + (a_1^2 + (n - 1)\Delta _1 )^2 $
$ = na_1^2 + 2a_1 \Delta _1 [1 + 2 + .. + (n - 1)] + \Delta _1^2 [1^2 + .. + (n - 1)^2 ]$
$\ge \Delta _1^2 \dfrac{{(n - 1)n(2n - 1)}}{6}$
Vậy $\Delta _1 \le \sqrt {\dfrac{{6M}}{{n (n - 1)(2n - 1)}}} $

Bài này cũng không quá rắc rối, bạn nào có cách khác thì post lên cho mình tham khảo.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4232: 20-06-2008 - 07:46


#3
Songohan

Songohan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
Có một ít ngộ nhận, mình đã sữa lại.

#4
vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
Bài này mình trông có vẻ là bài tổng quát của một bài trên THTT số T6/ 2008 thì phải ?Nếu đúng vậy thì nên đóng topic này lại ..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 21-06-2008 - 17:04

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh